Câu hỏi:

06/07/2026 1

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB = a,AD = a\sqrt 3 $. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA = 2a$. Những phương án nào dưới đây đúng?

1. $SA$ là đường cao của hình chóp.

2. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ bằng $a\sqrt 3 $.

3. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$.

4. Góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ lớn hơn $75^\circ $.

5. Khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ bằng $\frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi tham khảo ĐGNL Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh môn Toán có đáp án - Đề số 4 !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$5. Khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ bằng $\frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}$. (ảnh 1)$

1. Đúng. Ta có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên suy ra $SA$ là đường cao của hình chóp.

2. Sai. Kẻ $AH \bot SD\left( {H \in SD} \right)$.

Ta có $SA \bot \left( {ABCD} \right),CD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD$.

Mà $AD \bot CD$ nên $CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AH$.

Lại có $SD \bot AH \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AH = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)$.

Ta có $AH = \frac{{SA \cdot AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a \cdot a\sqrt 3 }}{{\sqrt {4{a^2} + 3{a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt {21} }}{7}$.

3. Sai. Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 2a \cdot {a^2}\sqrt 3 = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}$.

4. Đúng. Có $\cos \left( {SB,AC} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right|}}{{SB \cdot AC}}$.

Ta có $\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AS} } \right) \cdot \overrightarrow {AB} = A{B^2} - \overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {AB} = A{B^2} = {a^2}$.

Suy ra $\cos \left( {SB,AC} \right) = \frac{{\left| {{a^2}} \right|}}{{a\sqrt 5 \cdot 2a}} = \frac{1}{{2\sqrt 5 }}$. Khi đó $\left( {SB,AC} \right) \approx 77,4^\circ $.

5. Đúng.

$5. Khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ bằng $\frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}$. (ảnh 2)$

Gọi K là hình chiếu của $A$lên $BD$, $J$là hình chiếu của $A$lên $SK$.

Có tam giác $ABD$ vuông tại $A$, $AK \bot BD$. Khi đó:

$\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Xét tam giác $SAK$ vuông tại $A$ có $AJ \bot SK$. Khi đó:

$\frac{1}{{A{J^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} \Rightarrow AJ = \frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}$.

Gọi $O = AC \cap \left( {SBD} \right) \Rightarrow \frac{{AO}}{{CO}} = \frac{{d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right)}}$.

Mà $ABCD$ là hình chữ nhật nên $O$ là trung điểm $AC$.

Suy ra $\frac{{AO}}{{CO}} = 1 \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}$. Chọn 1, 4, 5.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một thư viện ghi lại số giờ đọc sách của 50 sinh viên trong một ngày và thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm giờ

$\left[ {0\,;\,\,1} \right)$

$\left[ {1\,;\,\,2} \right)$

$\left[ {2\,;\,\,3} \right)$

$\left[ {3\,;\,\,4} \right)$

$\left[ {4\,;\,\,5} \right)$

Số sinh viên

8

11

15

9

7

Khoảng $\left[ {a;b} \right),\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Tính $S = a + b$?

A. \[1\].

B. \[2\].

C. \[3\].

D. \[4\].

Lời giải

Giả sử mẫu số liệu gốc là ${x_1};\,\,{x_2};\,\,...;\,\,{x_{50}}$ được xếp theo thứ tự không giảm.

Xét nửa bên trái mẫu số liệu gốc là ${x_1};\,\,{x_2};\,\,...;\,\,{x_{25}}$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${x_{13}} \in \left[ {1\,;\,\,2} \right)$.

Suy ra $a = 1;b = 2$. Vậy $a + b = 3$. Chọn C.

Câu 2

Cho bảng thống kê doanh số bán hàng của 30 cửa hàng của một chuỗi siêu thị mini trong một ngày như sau

Doanh số (triệu đồng)

$\left[ {20;30} \right)$

$\left[ {30;40} \right)$

$\left[ {40;50} \right)$

$\left[ {50;60} \right)$

$\left[ {60;70} \right)$

$\left[ {70;80} \right)$

Số cửa hàng

2

5

10

8

4

1

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là

A. $60$.

B. $10$.

C. $16,375$.

D. $26,375$.

Lời giải

Cỡ mẫu $n = 30$.

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{30}}$ là doanh số bán hàng của 30 cửa hàng được sắp theo thứ tự không giảm.

Ta có ${Q_1} = {x_8}$ mà ${x_8} \in \left[ {40;50} \right)$ nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Ta có ${Q_1} = 40 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 7}}{{10}} \cdot 10 = 40,5$.

Ta có ${Q_3} = {x_{23}}$ mà ${x_{23}} \in \left[ {50;60} \right)$ nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.

Ta có ${Q_3} = 50 + \frac{{\frac{{3 \cdot 30}}{4} - 17}}{8} \cdot 10 = 56,875$.

Khoảng tứ phân vị là ${\Delta _Q} = 56,875 - 40,5 = 16,375$. Chọn C.

Câu 3

Trong một buổi diễn tập, một trạm chỉ huy được đặt tại gốc tọa độ $O\left( {0;0;0} \right)$ (đơn vị tính theo km). Các kỹ thuật viên vận hành một thiết bị đánh chặn tầm thấp (drone chiến thuật) có tầm hoạt động tối đa 50 km và vận tốc bay không đổi là 500 m/s. Một mục tiêu giả định (máy bay mục tiêu) đang di chuyển theo đường thẳng để thoát khỏi khu vực diễn tập theo hướng có vector chỉ phương $\overrightarrow v = \left( {3; - 4;0} \right)$ với vận tốc không đổi là 900 km/h. Tại thời điểm trạm chỉ huy xác định được vị trí của máy bay mục tiêu ở tọa độ $A\left( { - 44;16;24} \right)$, drone đánh chặn được lệnh xuất phát ngay lập tức từ gốc tọa độ $O$ để thực hiện nhiệm vụ và đã tiếp cận mục tiêu thành công. Tính khoảng cách từ trạm chỉ huy đến vị trí máy bay mục tiêu tại thời điểm drone tiếp cận được máy bay đó (tính bằng km). Giả sử máy bay mục tiêu và drone đều di chuyển theo đường thẳng trong điều kiện lý tưởng, bỏ qua ảnh hưởng của gió và trọng lực.

Đáp án: ___

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Thí sinh chọn các phương án đúng theo yêu cầu từ câu 21 đến câu 25 (nếu chọn duy nhất một phương án mà phương án đó là phương án đúng sẽ được tính một nửa số điểm của câu hỏi. Nếu chọn tất cả các phương án đúng sẽ đạt điểm tối đa của câu hỏi).

Một trạm kiểm tra chất lượng, các sản phẩm được phân loại vào hai lô hàng:

+) Lô A: Có 12 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm đạt chuẩn.

+) Lô B: Có 8 sản phẩm, trong đó có 5 sản phẩm đạt chuẩn.

Robot lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ mỗi lô, sau đó người quản lí chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 sản phẩm đó để đưa vào phòng thí nghiệm.

Gọi $A$ là biến cố “Người quản lý chọn được sản phẩm từ lô $A$”, $\overline A $ là biến cố “Người quản lí chọn sản phẩm từ lô B” và $B$ là biến cố “Sản phẩm được chọn đạt chuẩn”. Những phương án nào dưới đây đúng?

1. Xác suất của biến cố $A$ bằng $\frac{1}{2}$.

2. Biến cố B được biểu diễn dưới dạng $B = \left( {B \cap A} \right) \cup \left( {B \cap \overline A } \right)$.

3. Xác suất có điều kiện $P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{7}{{12}}$.

4. Nếu sản phẩm đưa vào phòng thí nghiệm là sản phẩm đạt chuẩn thì xác suất sản phẩm đó đến từ lô A bằng $\frac{{21}}{{41}}$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Nếu một doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm trong một tháng $\left( {x \in \mathbb{N};1 \le x \le 300} \right)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm là $F\left( x \right) = {x^3} - 1999{x^2} + 1001000x + 250000$ (đồng). Trong đó, chi phí vận hành máy móc bình quân cho mỗi sản phẩm khi sản xuất $x$ sản phẩm là $G\left( x \right) = 300 + \frac{{100}}{x}$ (nghìn đồng), chi phí mua nguyên vật liệu để sản xuất $x$ sản phẩm là $H\left( x \right) = 2{x^3} + 100000x - 50000$ (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Đáp án: ____

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Thí sinh điền đáp án vào ô trống theo yêu cầu từ câu 31 đến câu 40.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{2}$ và mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9$. Xét mặt phẳng $\left( P \right):ax + by + cz + 9 = 0\left( {a,b,c \ne 0} \right)$. Biết rằng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$. Tính giá trị $a + b + c.$

Đáp án: ___

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $P\left( {3\,;\,1\,;\,0} \right),\,Q\left( {2\,;\,3\,;\,0} \right)$ và điểm $N$ di động trên tia $Oz$. Gọi $E,\,F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $P$ lên $OQ$ và $NQ$. Đường thẳng $EF$ cắt trục $Oz$ tại điểm $T$. Khi thể tích khối tứ diện $PQNT$ nhỏ nhất thì phương trình mặt phẳng $\left( {PEF} \right)$ có dạng $ax + by + cz - 9 = 0$. Tính $a + b + c$.

Đáp án: __

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhóm giờ	\(\left[ {0\,;\,\,1} \right)\)	\(\left[ {1\,;\,\,2} \right)\)	\(\left[ {2\,;\,\,3} \right)\)	\(\left[ {3\,;\,\,4} \right)\)	\(\left[ {4\,;\,\,5} \right)\)
Số sinh viên	8	11	15	9	7

Doanh số (triệu đồng)	\(\left[ {20;30} \right)\)	\(\left[ {30;40} \right)\)	\(\left[ {40;50} \right)\)	\(\left[ {50;60} \right)\)	\(\left[ {60;70} \right)\)	\(\left[ {70;80} \right)\)
Số cửa hàng	2	5	10	8	4	1

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Lịch sử

Toán

Toán

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Toán

Toán

Văn

Tiếng Anh

Toán

Văn

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Lịch sử & Địa lí

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Việt

Tiếng Anh

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật \(AB = a,AD = a\sqrt 3 \). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = 2a\). Những phương án nào dưới đây đúng?

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Chọn bộ sách