Một gia đình dự định tổ chức tiệc tại nhà hàng với chi phí không quá 10 triệu đồng. Giá mỗi suất ăn là \[250{\rm{ }}000\] đồng và phí thuê phòng tiệc là \[1{\rm{ }}500{\rm{ }}000\] đồng. Hỏi gia đình có thể mời tối đa bao nhiêu khách?

a) Gọi J là trung điểm OM.

\[\Delta OAM\] vuông tại A, AJ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OM.

\( \Rightarrow AJ = OJ = JM = \frac{{OM}}{2} \Rightarrow O,A,M \in \left( {J,\frac{{OM}}{2}} \right)\,\,\left( 1 \right)\).

\[\Delta OBM\] vuông tại B, BJ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OM.

\( \Rightarrow BJ = OJ = JM = \frac{{OM}}{2} \Rightarrow O,B,M \in \left( {J,\frac{{OM}}{2}} \right)\,\,\left( 2 \right)\).

\(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow O,A,M,B \in \left( {J,\frac{{OM}}{2}} \right)\).

Vậy bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn \(\left( {J,\frac{{OM}}{2}} \right)\).

b) Ta có \(OA = OB = R\) và \(MA = MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên \(MO\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\). Suy ra \(MO \bot AB\) (1).

Lại có \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(AC\)). Suy ra \(BC \bot AB\) (2).

Từ (1) và (2), theo quan hệ từ vuông góc đến song song, ta có \(MO//BC\).

c) Ta có, \[\widehat {MAI} + \widehat {IAC} = 90^\circ \](1).

\[\widehat {AIC}\] nội tiếp (O), chắn với AC là đường kính của \(\left( O \right)\).

\[ \Rightarrow \widehat {AIC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {IAC} + \widehat {ACI} = 90^\circ \] (2).

Từ (1), (2) suy ra \[\widehat {MAI} = \widehat {ACI}\] (3).

Lại có \[\widehat {ACI}\] và \[\widehat {ABI}\] là góc nội tiếp \(\left( O \right)\) cùng chắn .

Suy ra \[\widehat {ACI} = \widehat {ABI}\] (4).

I thuộc OM, mà OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB (cmt). Nên \[IA = IB\].

Suy ra \[\Delta AIB\] cân tại I.

Suy ra \[\widehat {ABI} = \widehat {IAB}\] (5).

Từ (3), (4), (5) suy ra \[\widehat {MAI} = \widehat {BAI}\] suy ra AI là đường phân giác của \[\widehat {MAB}\].

Mà MH cũng là đường phân giác của \[\widehat {AMB}\] (\(I \in MH\)).

Suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp \[\Delta AMB\].

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta ' > 0\):

\(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - \left( {{m^2} - 4} \right) = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 4 = - 2m + 5\)

\( - 2m + 5 > 0\)

\(m < \frac{5}{2}\)

Theo định lý Vi-ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\,(1)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\).

Từ giả thiết \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = {x_1} + {x_2}\).

Điều kiện để phương trình có nghĩa là \({x_1} + {x_2} \ge 0 \Rightarrow 2\left( {m - 1} \right) \ge 0 \Rightarrow m \ge 1\).

Bình phương hai vế của điều kiện: \({({x_1} - {x_2})^2} = {({x_1} + {x_2})^2}\)

\(x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2\)

\(4{x_1}{x_2} = 0\)

\({x_1}{x_2} = 0\)

Thay \(\left( 2 \right)\) vào ta được: \({m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 2\) hoặc \(m = - 2\).

Ta thấy chỉ có \(m = 2\) thỏa mãn cả hai điều kiện trên.

Vậy \(m = 2\) là giá trị cần tìm.