Một quỹ đầu tư phân bổ 10 tỷ đồng vào hai danh mục: Vàng SJC và Cổ phiếu VN30. Sau một quý, giá vàng tăng 12%, trong khi chỉ số cổ phiếu VN30 lại giảm 8%. Lúc này, tổng giá trị tài sản của quỹ (bao gồm cả vàng và cổ phiếu) là 10 tỷ 500 triệu đồng. Tính số tiền quỹ đã đầu tư vào mỗi danh mục lúc ban đầu.

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{x - 1}}\\ = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right).\frac{{x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {x - 1} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\end{array}\)

a) Gọi J là trung điểm OM.

\[\Delta OAM\] vuông tại A, AJ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OM.

\( \Rightarrow AJ = OJ = JM = \frac{{OM}}{2} \Rightarrow O,A,M \in \left( {J,\frac{{OM}}{2}} \right)\,\,\left( 1 \right)\).

\[\Delta OBM\] vuông tại B, BJ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OM.

\( \Rightarrow BJ = OJ = JM = \frac{{OM}}{2} \Rightarrow O,B,M \in \left( {J,\frac{{OM}}{2}} \right)\,\,\left( 2 \right)\).

\(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow O,A,M,B \in \left( {J,\frac{{OM}}{2}} \right)\).

Vậy bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn \(\left( {J,\frac{{OM}}{2}} \right)\).

b) Ta có \(OA = OB = R\) và \(MA = MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên \(MO\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\). Suy ra \(MO \bot AB\) (1).

Lại có \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(AC\)). Suy ra \(BC \bot AB\) (2).

Từ (1) và (2), theo quan hệ từ vuông góc đến song song, ta có \(MO//BC\).

c) Ta có, \[\widehat {MAI} + \widehat {IAC} = 90^\circ \](1).

\[\widehat {AIC}\] nội tiếp (O), chắn với AC là đường kính của \(\left( O \right)\).

\[ \Rightarrow \widehat {AIC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {IAC} + \widehat {ACI} = 90^\circ \] (2).

Từ (1), (2) suy ra \[\widehat {MAI} = \widehat {ACI}\] (3).

Lại có \[\widehat {ACI}\] và \[\widehat {ABI}\] là góc nội tiếp \(\left( O \right)\) cùng chắn .

Suy ra \[\widehat {ACI} = \widehat {ABI}\] (4).

I thuộc OM, mà OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB (cmt). Nên \[IA = IB\].

Suy ra \[\Delta AIB\] cân tại I.

Suy ra \[\widehat {ABI} = \widehat {IAB}\] (5).

Từ (3), (4), (5) suy ra \[\widehat {MAI} = \widehat {BAI}\] suy ra AI là đường phân giác của \[\widehat {MAB}\].

Mà MH cũng là đường phân giác của \[\widehat {AMB}\] (\(I \in MH\)).

Suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp \[\Delta AMB\].