Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và một điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn. Từ \(M\) kẻ hai tiếp tuyến \(MA,MB\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(A,B\) là các tiếp điểm). Kẻ đường kính \(AC\) của đường tròn \(\left( O \right)\).

(a) Chứng minh bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.

(b) Chứng minh \(MO\) song song với \(BC\).

(c) Gọi I là giao điểm đường tròn tâm O với OM. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABM.

a) Gọi J là trung điểm OM.

\[\Delta OAM\] vuông tại A, AJ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OM.

\( \Rightarrow AJ = OJ = JM = \frac{{OM}}{2} \Rightarrow O,A,M \in \left( {J,\frac{{OM}}{2}} \right)\,\,\left( 1 \right)\).

\[\Delta OBM\] vuông tại B, BJ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OM.

\( \Rightarrow BJ = OJ = JM = \frac{{OM}}{2} \Rightarrow O,B,M \in \left( {J,\frac{{OM}}{2}} \right)\,\,\left( 2 \right)\).

\(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow O,A,M,B \in \left( {J,\frac{{OM}}{2}} \right)\).

Vậy bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn \(\left( {J,\frac{{OM}}{2}} \right)\).

b) Ta có \(OA = OB = R\) và \(MA = MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên \(MO\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\). Suy ra \(MO \bot AB\) (1).

Lại có \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(AC\)). Suy ra \(BC \bot AB\) (2).

Từ (1) và (2), theo quan hệ từ vuông góc đến song song, ta có \(MO//BC\).

c) Ta có, \[\widehat {MAI} + \widehat {IAC} = 90^\circ \](1).

\[\widehat {AIC}\] nội tiếp (O), chắn với AC là đường kính của \(\left( O \right)\).

\[ \Rightarrow \widehat {AIC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {IAC} + \widehat {ACI} = 90^\circ \] (2).

Từ (1), (2) suy ra \[\widehat {MAI} = \widehat {ACI}\] (3).

Lại có \[\widehat {ACI}\] và \[\widehat {ABI}\] là góc nội tiếp \(\left( O \right)\) cùng chắn .

Suy ra \[\widehat {ACI} = \widehat {ABI}\] (4).

I thuộc OM, mà OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB (cmt). Nên \[IA = IB\].

Suy ra \[\Delta AIB\] cân tại I.

Suy ra \[\widehat {ABI} = \widehat {IAB}\] (5).

Từ (3), (4), (5) suy ra \[\widehat {MAI} = \widehat {BAI}\] suy ra AI là đường phân giác của \[\widehat {MAB}\].

Mà MH cũng là đường phân giác của \[\widehat {AMB}\] (\(I \in MH\)).

Suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp \[\Delta AMB\].