Đầu năm 2026, một nhóm học sinh khảo sát thời gian sạc đầy pin (giờ) của 20 chiếc xe đạp điện và thu được số liệu: 4,5; 5,0; 5,5; 5,0; 4,5; 6,0; 5,0; 5,5; 5,0; 6,0; 4,5; 5,0; 5,5; 6,0; 5,0; 5 (ảnh 1)

Câu 3/11

Rút gọn biểu thức sau:$P = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{x - 1}}$ (với $x\; > \;0$ và $x\; \ne 1$).

Lời giải

$\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{x - 1}}\\ = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right).\frac{{x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {x - 1} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\end{array}$

Câu 4/11

Cho hàm số $y = \frac{1}{2}{x^2}$ có đồ thị là $\left( P \right)$. Vẽ đồ thị $\left( P \right)$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

Lời giải

Cho hàm số y=1/2x^2 có đồ thị là (P). Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. (ảnh 1)

Câu 5/11

Cho phương trình ${x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 4 = 0$ ($m$ là tham số). Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ thỏa mãn điều kiện:$\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = {x_1} + {x_2}$.

Lời giải

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta ' > 0$:

$\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - \left( {{m^2} - 4} \right) = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 4 = - 2m + 5$

$ - 2m + 5 > 0$

$m < \frac{5}{2}$

Theo định lý Vi-ét, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\,(1)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$.

Từ giả thiết $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = {x_1} + {x_2}$.

Điều kiện để phương trình có nghĩa là ${x_1} + {x_2} \ge 0 \Rightarrow 2\left( {m - 1} \right) \ge 0 \Rightarrow m \ge 1$.

Bình phương hai vế của điều kiện: ${({x_1} - {x_2})^2} = {({x_1} + {x_2})^2}$

$x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2$

$4{x_1}{x_2} = 0$

${x_1}{x_2} = 0$

Thay $\left( 2 \right)$ vào ta được: ${m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 2$ hoặc $m = - 2$.

Ta thấy chỉ có $m = 2$ thỏa mãn cả hai điều kiện trên.

Vậy $m = 2$ là giá trị cần tìm.

Câu 6/11

Gieo đồng thời hai con xúc xắc 6 mặt cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố B: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt con xúc xắc là một số nguyên tố".

Lời giải

Đây là phép thử gieo 2 con xúc xắc 6 mặt. Kết quả là các cặp $(i,j)$ với $i,j \in \{ 1,2,3,4,5,6\} $.

$\Omega = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),}\\{(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),}\\{(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),}\\{(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),}\\{(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),}\\{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}\end{array}} \right\}$.

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega ) = 36$.

Các kết quả thuận lợi có thể xảy ra của biến cố B là:

$B = \left\{ \begin{array}{l}(1,1),(1,2),(2,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,6),\\(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),(5,6),(6,5)\end{array} \right\}$.

Số kết quả thuận lợi $n(B) = 15$.

Xác suất của biến cố B là $P(B) = \frac{{15}}{{36}} = \frac{5}{{12}} \approx 0,417$.

Câu 7/11