Để tăng cường quản lý an toàn giao thông tại ngã tư, đơn vị kỹ thuật cần lắp đặt một camera quan sát trên một cột thẳng đứng đặt tại góc vỉa hè. Theo thông số kỹ thuật, để camera có thể nhận diện rõ biển số xe ở vị trí vạch dừng chờ đèn đỏ cách chân cột một khoảng là 8m, góc hạ (góc tạo bởi phương nằm ngang và tia nhìn từ camera đến vạch dừng) phải đạt đúng 40° (như hình vẽ mô phỏng). Hãy tính độ cao (khoảng cách từ vị trí đặt camera trên cột đến mặt đất) để đảm bảo yêu cầu kỹ thuật trên. (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{x - 1}}\\ = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right).\frac{{x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {x - 1} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\end{array}\)

a) Gọi J là trung điểm OM.

\[\Delta OAM\] vuông tại A, AJ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OM.

\( \Rightarrow AJ = OJ = JM = \frac{{OM}}{2} \Rightarrow O,A,M \in \left( {J,\frac{{OM}}{2}} \right)\,\,\left( 1 \right)\).

\[\Delta OBM\] vuông tại B, BJ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OM.

\( \Rightarrow BJ = OJ = JM = \frac{{OM}}{2} \Rightarrow O,B,M \in \left( {J,\frac{{OM}}{2}} \right)\,\,\left( 2 \right)\).

\(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow O,A,M,B \in \left( {J,\frac{{OM}}{2}} \right)\).

Vậy bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn \(\left( {J,\frac{{OM}}{2}} \right)\).

b) Ta có \(OA = OB = R\) và \(MA = MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên \(MO\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\). Suy ra \(MO \bot AB\) (1).

Lại có \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(AC\)). Suy ra \(BC \bot AB\) (2).

Từ (1) và (2), theo quan hệ từ vuông góc đến song song, ta có \(MO//BC\).

c) Ta có, \[\widehat {MAI} + \widehat {IAC} = 90^\circ \](1).

\[\widehat {AIC}\] nội tiếp (O), chắn với AC là đường kính của \(\left( O \right)\).

\[ \Rightarrow \widehat {AIC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {IAC} + \widehat {ACI} = 90^\circ \] (2).

Từ (1), (2) suy ra \[\widehat {MAI} = \widehat {ACI}\] (3).

Lại có \[\widehat {ACI}\] và \[\widehat {ABI}\] là góc nội tiếp \(\left( O \right)\) cùng chắn .

Suy ra \[\widehat {ACI} = \widehat {ABI}\] (4).

I thuộc OM, mà OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB (cmt). Nên \[IA = IB\].

Suy ra \[\Delta AIB\] cân tại I.

Suy ra \[\widehat {ABI} = \widehat {IAB}\] (5).

Từ (3), (4), (5) suy ra \[\widehat {MAI} = \widehat {BAI}\] suy ra AI là đường phân giác của \[\widehat {MAB}\].

Mà MH cũng là đường phân giác của \[\widehat {AMB}\] (\(I \in MH\)).

Suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp \[\Delta AMB\].