Vẽ đồ thị hàm số (P):\[y = - \frac{1}{2}{x^2}\]. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) có hoành độ khác 0 và tung độ gấp đôi hoành độ.

a) Gọi E là trung điểm của AC

Xét $\Delta AKC$ vuông tại $K$ có $EK$ đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AC$, ta có $EK=EC=EA=\frac{AC}{2}$ (1)

Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H$ có $EH$là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\), ta có

\(EH = EC = EA = \frac{{AC}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(EA = EH = EK = EC\)

Suy ra 4 điểm \(A,H,K,C\)cùng nằm trên đường tròn tâm \(E\), đường kính \(AC\)

Vậy tứ giác \(AHKC\) nội tiếp đường tròn tâm \(E\), đường kính \(AC\)

b) Xét đường tròn (E) chỉ ra được \(\widehat {KCH} = \widehat {KAH}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KH) hay \(\widehat {KCH} = \widehat {DAB}\) (3)

Xét nửa đường tròn (O) chỉ ra được \(\widehat {DCB} = \widehat {DAB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DB) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: \(\widehat {KCH} = \widehat {DCB}\)

Xét nửa đường tròn (O) chỉ ra được \(\widehat {ADB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ADB} = 90^\circ \)Chứng minh được \(\Delta AIH\)∽\(\Delta ABD\)(g.g)

Suy ra: \(\frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{AD}}\) hay \(AI.AD = AH.AB\)

c) Kéo dài tia CP cắt AB tại M

Chứng minh được I là trực tâm của \(\Delta ACM\) suy ra \(MI \bot AC\)

Chứng minh được \(MI\)//\(BC\)

Xét \(\Delta CHB\) có \(I \in CH,M \in HB\) và \(MI\)//\(BC\) suy ra: \(\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HM}}{{HB}}\) (5)

(Theo định lí Thalès)

Xét \(\Delta HDB\) có \(P \in HD,M \in HB\) và \(MP\)//\(DB\) suy ra: \(\frac{{HD}}{{HP}} = \frac{{HM}}{{HB}}\) (6)

(Theo định lí Thalès)

Từ (5) và (6) suy ra \(\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HD}}{{HP}}\)

Sử dụng định lí Thalès đảo vào \(\Delta HCD\) suy ra: \(IP\)//\(CD\)

Tính được \(\Delta = 333 > 0\)

Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\)

Theo định lí Viète ta có:

\({x_1} + {x_2} = 19\)

\({x_1}.{x_2} = 7\)

Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình (1) nên ta có

suy ra $2x_1{}^2-38x_1=-14$ (2)

Vì $x_2$ là nghiệm của phương trình (1) nên ta có

$x_2{}^2-19x_2+7=0$ suy ra $2x_2{}^2-38x_2=-14$ (3)

Thay (2) và (3) vào A ta có:

$A=x_2{\left(2x_1{}^2-38x_1+x_1{x}_2-3\right)}^2+x_1{\left(2x_2{}^2-38x_2+x_1{x}_2-3\right)}^2+125$

$A=x_2{\left(-14+x_1{x}_2-3\right)}^2+x_1{\left(-14+x_1{x}_2-3\right)}^2+125$

$A=x_2{\left(x_1{x}_2-17\right)}^2+x_1{\left(x_1{x}_2-17\right)}^2+125$

Thay $x_1+x_2=19$ và $x_1.x_2=7$ vào A ta có:

$\begin{array}{l}A=x_2{\left(7-17\right)}^2+x_1{\left(7-17\right)}^2+125\\ =100\left(x_1+x_2\right)+125=100.19+125=1900+125=2025\end{array}$

Vậy A = 2025