Một xi lanh đặt thẳng đứng có tiết diện không đều như hình vẽ. Giữa hai pit-tông có 1 mol khí lí tưởng. Các pit-tông được nối với nhau bằng một thanh cứng nhẹ, pít-tông trên có tiết diện lớn hơn pit-tông dưới là \({\rm{\Delta S}} = 10{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\). Áp suất khí quyển \({{\rm{p}}_0} = 1,{013.10^5}{\rm{N}}/{{\rm{m}}^2}\). Giả sử khí không lọt ra ngoài, lúc đầu hệ đang cân bằng. Cần phải làm nóng khí trong xi lanh thêm bao nhiêu ^oC để các pit-tông dịch chuyển lên trên một đoạn \(\ell = 5{\rm{\;cm}}\). Biết khối lượng tổng cộng của hai pit-tông là \({\rm{m}} = 5{\rm{\;kg}}\). Cho hằng số khí lí tưởng \({\rm{R}} = 8,31{\rm{J}}/{\rm{mol}}.{\rm{K}},{\rm{\;\;g}} = 10{\rm{\;m}}/{{\rm{s}}^2}\). Bỏ qua ma sát giữa pit-tông và xilanh (kết quả được làm tròn đến chữ số hàng phần mười)

Đáp án: 0,91

Để hệ cân bằng (bao gồm 2 piston nối với nhau bằng 1 thanh cứng)

Các lực tác dụng lên hệ như hình vẽ.

Ta coi là 1 hệ gồm hai piston được nối với nhau bằng 1 thanh cứng.

Xét các lực tác dụng lên hệ (Đề bài nói bỏ qua ma sát) Lên chỉ có các lực tác động do khí tác động lên:

+ Trọng lượng: \({{\rm{m}}_2}{\rm{g}},{\rm{\;}}{{\rm{m}}_1}{\rm{g}}\) hướng xuống

+ Áp lực do áp suất khí quyển đè lên piston: \({{\rm{p}}_0}{{\rm{S}}_1}\left( {{\rm{p}} = \frac{{\rm{F}}}{{\rm{S}}}\left( {\frac{N}{{{{\rm{m}}^2}}}} \right) \Rightarrow {\rm{F}} = {\rm{pS}}} \right.\)

+ Lực do áp suất của khối khí bên trong đè lên tiết diện \({{\rm{S}}_2}:{{\rm{p}}_k}.{{\rm{S}}_2}\). (khối khí bên trong nó sẽ tác động áp suất lên mọi bề mặt đẩy \({{\rm{m}}_2}\) xuống

⇒ Tổng cộng có 4 lực hướng xuống.

Có 4 lực như vậy mà piston không rơi xuống chứng tỏ có lực hướng lên gồm:

+ \({{\rm{p}}_0}.{{\rm{S}}_2}\) (ở bên dưới khí đẩy lên trên mọi bề mặt)

+ Bên trong chịu áp lực \({{\rm{p}}_{\rm{k}}}{{\rm{S}}_1}\)

Để hệ cân bằng: \(\sum {\rm{F}} \downarrow = \sum {\rm{F}} \uparrow \) (1) (Lực F đẩy lên bằng lực F đẩy hướng xuống)

\( \Rightarrow \left( {{{\rm{m}}_1} + {{\rm{m}}_2}} \right){\rm{g}} + {{\rm{p}}_0}.{{\rm{S}}_1} + {{\rm{p}}_{\rm{k}}}.{{\rm{S}}_2} = {{\rm{p}}_{\rm{k}}}.{{\rm{S}}_1} + {{\rm{p}}_0}{\rm{\;}}{{\rm{S}}_2}\)

Đề bài: \({\rm{\Delta S}} = {{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2} = 10{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\)

\( \Rightarrow {\rm{mg}} + {{\rm{p}}_0}\left( {{{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2}} \right) = {{\rm{p}}_{\rm{k}}}\left( {{{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2}} \right)\)

\( \Rightarrow 5.10 + 1,{013.10^5}{.10.10^{ - 4}} = {{\rm{p}}_{\rm{k}}}{.10.10^{ - 4}}\)

\( \Rightarrow {{\rm{p}}_{\rm{k}}} = 151300\left( {{\rm{Pa}}} \right)\)

+ \({\rm{V}} - \ell .{{\rm{S}}_2} + \ell .{{\rm{S}}_1} = {\rm{V}} + \underbrace {\ell .\left( {{{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2}} \right)}_{{\rm{\Delta V}}}\)

Khi đun nóng piston đi lên (Khi đun nóng coi khối khí là khí lý tưởng thì khi nhiệt độ tăng lên thì hoặc thể tích hoặc áp suất phải tăng lên. Khi áp suất tăng lên thì làm cho hệ không cân bằng nữa

\( \Rightarrow {\rm{mg}} + {{\rm{p}}_0}\left( {{{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2}} \right) = {{\rm{p}}_{\rm{k}}}\left( {{\rm{\;}}{{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2}} \right)\)

(Vì \({\rm{mg}} + {{\rm{p}}_0}\left( {{{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2}} \right)\) cố định khi đun nóng \({{\rm{p}}_{\rm{k}}}\) tăng lên sẽ làm cho \({\rm{mg}} + {{\rm{p}}_0}\left( {{{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2}} \right)\) lớn hơn sẽ làm cho hệ không cân bằng nữa làm piston phải di chuyển hướng lên)

\({\rm{p}} \uparrow \Rightarrow \left( 1 \right) \Rightarrow \sum \;{\rm{F}}\) tăng lên) tức lực đẩy lên lớn hơn \(\sum \;{\rm{F}}\) hướng xuống ⇒ Đẩy piston đi lên thì thể tích tăng lên làm áp suất cân bằng trở lại

Quá trình đun nóng từ từ → Có thể coi là đẳng áp (áp suất tăng lên bao nhiêu thì thể tích cũng tăng làm cho áp suất cân bằng trở lại)

\(\frac{{{\rm{pV}}}}{{\rm{T}}} = {\rm{const}}\) (T tăng lên thì P hoặc V tăng lên)

+ \({{\rm{p}}_{\rm{k}}} = {\rm{\;const\;}} \Rightarrow \frac{{{{\rm{V}}_2}}}{{{\rm{\;}}{{\rm{T}}_2}}} = \frac{{{{\rm{V}}_1}}}{{{\rm{\;}}{{\rm{T}}_1}}} = \frac{{{\rm{nR}}}}{{{{\rm{p}}_{\rm{k}}}}}\) (Dùng dãy tỉ số bằng nhau: \(\left( {\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{\;b}}}} = \frac{{\rm{c}}}{{{\rm{\;d}}}} = \frac{{{\rm{a}} - {\rm{c}}}}{{{\rm{\;b}} - {\rm{d}}}}} \right)\))

\( \Rightarrow \frac{{{{\rm{V}}_2} - {{\rm{V}}_1}}}{{{\rm{\;}}{{\rm{T}}_2} - {{\rm{T}}_1}}} = \frac{{{\rm{nR}}}}{{{{\rm{p}}_{\rm{k}}}}}\)

\( \Rightarrow \frac{{\ell .\left( {{{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2}} \right)}}{{{\rm{\Delta T}}}} = \frac{{{\rm{nR}}}}{{{{\rm{p}}_{\rm{K}}}}}\)

\( \Rightarrow \frac{{0,{{05.10.10}^{ - 4}}}}{{{\rm{\Delta \;T}}}} = \frac{{1.8,31}}{{151300}} \Rightarrow {\rm{\Delta \;T}} = 0,91\left( {\rm{K}} \right)\)

\( \Rightarrow {\rm{\Delta t}} = 0,91\left( {{\;^0}{\rm{C}}} \right)\)