Cho \[\Delta ABC\]nhọn, nội tiếp trong đường tròn \[\left( O \right)\]. Đường cao \[BE,\,CF\]cắt nhau tại \[H\]. Kẻ \[EM \bot AB\], \[EN \bot BC\,\left( {M \in AB,\,N \in AC} \right)\]. \[BE\]cắt \[\left( O \right)\]tại điểm thứ hai là \[K\].

(a) Chứng minh 4 điểm \[B,\,C,\,E,\,F\]cùng nằm trên một đường tròn.

(b) Chứng minh: \[AE.BE = AK.BN\]

(c) Tia \[OA\]cắt \[EM\]tại \[I\]. Chứng minh: \[EHFI\] là hình bình hành.

Câu hỏi trong đề: 40 Đề tham khảo tuyển sinh Toán vào 10 năm 2026 Đà Nẵng !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho ΔABCnhọn, nội tiếp trong đường tròn (O). Đường cao BE,CFcắt nhau tại H. Kẻ EM⊥AB, EN⊥BC(M∈AB,N∈AC). BEcắt (O)tại điểm thứ hai là K. (ảnh 1)

a) \[\Delta BEC\]vuông tại \[E\]nên nội tiếp trong đường tròn đường kính \[BC\,\,\,\left( 1 \right)\]

\[\Delta BFC\]vuông tại \[F\]nên nội tiếp trong đường tròn đường kính \[BC\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right),\,\,\,\left( 2 \right)\] suy ra 4 điểm \[B,\,C,\,E,\,F\]cùng nằm trên đường tròn đường kính\[BC\].

b) Xét \[\Delta BEN\]và \[\Delta AKE\] có:

\[\widehat {AEK} = \widehat {BNE} = 90^\circ \]

\[\widehat {EAK} = \widehat {EBN}\] (cùng chắn cung \[CK\])

Vậy:

Suy ra \[\frac{{BE}}{{AK}} = \frac{{BN}}{{AE}}\] hay \[AE.BE = AK.BN\]

c) Kẻ đường kính \[AP\]. Ta có: \[\widehat {ACP} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta có tứ giác \[BCEF\]nội tiếp (4 điểm \[B,\,C,\,E,\,F\]cùng nằm trên đường tròn đường kính\[BC\]) nên \[\widehat {CBF} = \widehat {AEF}\] (cùng bù với \[\widehat {CEF}\]).

Mà \[\widehat {CBF} = \widehat {CPA}\] (cùng chắn cung \[AC\])

Nên \[\widehat {AEF} = \widehat {CPA}\].

Trong \[\Delta PAC\,:\widehat {CPA} + \widehat {CAP} = 90^\circ \]

Nên \[\widehat {AEF} + \widehat {CAP} = 90^\circ \]hay \[OA \bot EF\].

Trong \[AEF\]: \[EM \bot AB;\,OA \bot EF\] nên \[I\]là trực tâm \[AEF\].

Suy ra: \[FI \bot AE\] .

Ta có \[FI\,{\rm{//}}\,HE\,\](cùng vuông góc với \[AE\])

\[EI\,{\rm{//}}\,FH\,\](cùng vuông góc với \[AF\])

Nên \[EHFI\]là hình bình hành.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Bạn Hoa muốn làm cây quạt giấy mà khi mở rộng hết cỡ thì số đo góc chỗ tay cầm là \[120^\circ \]chiều dài mỗi cây nan tre tính từ chỗ gắn đinh nẹp (để cố định các nan tre lại) đến rìa ngoài quạt là \[25cm\], khoảng cách từ rìa giấy bên trong đến đinh nẹp là \[4cm\] (chỗ cầm tay, không bọc giấy. Tính diện tích phần giấy để làm quạt (dán cả 2 mặt).

Lời giải

Diện tích từ phần đinh đến rìa ngoài quạt là \[\frac{{\pi {{.25}^2}.120}}{{360}} = \frac{{625\pi }}{3}\,\left( {c{m^2}} \right)\]

Diện tích từ phần rìa giấy đến đinh là $\frac{π {.4}^{2} .120}{360} = \frac{16 π}{3} (c m^{2})$

Diện tích phần giấy làm quạt cả 2 mặt là \[2.\left( {\frac{{625\pi }}{3} - \frac{{16\pi }}{3}} \right) = 406\pi \left( {c{m^2}} \right)\]

Câu 2

Cho phương trình: \[{x^2}--5x + 3 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\]. Gọi \[{x_1};{x_2}\]là 2 nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức sau: \[A = \sqrt {2x_1^2 + {x_1} + 12} + \sqrt {x_2^2 + 2{x_2} + 1} \].

Lời giải

\[\Delta = {5^2} - 4.3 = 12 > 0\].

Định lý Viete: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}.{x_2} = 3\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} > 0;{x_2} > 0\].

Vì \[{x_1}\] là nghiệm của \[\left( 1 \right)\] nên \[x_1^2--5{x_1} + 3 = 0 \Rightarrow x_1^2 = 5{x_1} - 3\]

\[A = \sqrt {x_1^2 + {x_1} + 12 + 5{x_1} - 3} + \sqrt {x_2^2 + 2{x_2} + 1} \]

\[A = \sqrt {x_1^2 + 6{x_1} + 9} + \sqrt {x_2^2 + 2{x_2} + 1} = \sqrt {{{\left( {{x_1} + 3} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {{x_2} + 1} \right)}^2}} \]

\[A = \left| {{x_1} + 3} \right| + \left| {{x_2} + 1} \right| = {x_1} + {x_2} + 4 = 9\].

Câu 3