Cho \[\Delta ABC\]nhọn, nội tiếp trong đường tròn \[\left( O \right)\]. Đường cao \[BE,\,CF\]cắt nhau tại \[H\]. Kẻ \[EM \bot AB\], \[EN \bot BC\,\left( {M \in AB,\,N \in AC} \right)\]. \[BE\]cắt \[\left( O \right)\]tại điểm thứ hai là \[K\].

(a) Chứng minh 4 điểm \[B,\,C,\,E,\,F\]cùng nằm trên một đường tròn.

(b) Chứng minh: \[AE.BE = AK.BN\]

(c) Tia \[OA\]cắt \[EM\]tại \[I\]. Chứng minh: \[EHFI\] là hình bình hành.

Bạn Hoa muốn làm cây quạt giấy mà khi mở rộng hết cỡ thì số đo góc chỗ tay cầm là \[120^\circ \]chiều dài mỗi cây nan tre tính từ chỗ gắn đinh nẹp (để cố định các nan tre lại) đến rìa ngoài quạt là \[25cm\], khoảng cách từ rìa giấy bên trong đến đinh nẹp là \[4cm\] (chỗ cầm tay, không bọc giấy. Tính diện tích phần giấy để làm quạt (dán cả 2 mặt).

Vào một ngày nắng, người ta thực hiện đo độ nghiêng của tháp nghiêng Pisa so với mặt đất như hình minh họa. Gọi A là đỉnh tháp, B là chân tháp và H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt đất. Biết rằng góc giữa tia sáng mặt trời và mặt đất là \(52,35^\circ \); khoảng cách từ chân tháp B đến điểm D là 47 mét và độ dài AH là 56 mét. Hãy xác định góc nghiêng của tháp so với mặt đất. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Một đội xe cần vận chuyển \(72\) tấn hàng nhưng khi bắt đầu khởi hành thì có một xe hỏng do đó mỗi xe phải chở nhiều hơn \(1\) tấn so với dự định. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu chiếc xe, biết khối lượng hàng mà mỗi xe phải chở là như nhau và mỗi xe chở một lượt.

Cho phương trình: \[{x^2}--5x + 3 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\]. Gọi \[{x_1};{x_2}\]là 2 nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức sau: \[A = \sqrt {2x_1^2 + {x_1} + 12} + \sqrt {x_2^2 + 2{x_2} + 1} \].

Rút gọn biểu thức: \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{6\sqrt x }}{{x - 9}}\,\] với \[x \ge 0;\,\,x \ne 9\].

Một chiếc bánh ông quế đựng kem Ý có dạng một hình nón có kích thước như hình vẽ: \(R = 3{\rm{\;cm}},h = 10{\rm{\;cm}}\). Cho biết \(1{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\) bánh quế có khối lượng \(0,12{\rm{gam}}\). Tính khối lượng bánh ống quế khi học sinh ăn một cây kem (cho \(\pi \approx 3,14\)). (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Gia đình bạn Bình đang cân nhắc lắp đặt Internet và có hai công ty viễn thông đưa ra các gói cước như sau:

- Gói cước \[A\]: Phí lắp đặt ban đầu là \[600\,000\] đồng và phí thuê bao hàng tháng là \[200\,000\] đồng.

- Gói cước \[B\]: Miễn phí lắp đặt ban đầu nhưng phí thuê bao hàng tháng là \[250\,000\] đồng.

Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng thì tổng chi phí sử dụng gói A nhỏ hơn tổng chi phí sử dụng gói B?