Cho \[\Delta ABC\]nhọn, nội tiếp trong đường tròn \[\left( O \right)\]. Đường cao \[BE,\,CF\]cắt nhau tại \[H\]. Kẻ \[EM \bot AB\], \[EN \bot BC\,\left( {M \in AB,\,N \in AC} \right)\]. \[BE\]cắt \[\left( O \right)\]tại điểm thứ hai là \[K\].
(a) Chứng minh 4 điểm \[B,\,C,\,E,\,F\]cùng nằm trên một đường tròn.
(b) Chứng minh: \[AE.BE = AK.BN\]
(c) Tia \[OA\]cắt \[EM\]tại \[I\]. Chứng minh: \[EHFI\] là hình bình hành.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) \[\Delta BEC\]vuông tại \[E\]nên nội tiếp trong đường tròn đường kính \[BC\,\,\,\left( 1 \right)\]
\[\Delta BFC\]vuông tại \[F\]nên nội tiếp trong đường tròn đường kính \[BC\,\,\,\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right),\,\,\,\left( 2 \right)\] suy ra 4 điểm \[B,\,C,\,E,\,F\]cùng nằm trên đường tròn đường kính\[BC\].
b) Xét \[\Delta BEN\]và \[\Delta AKE\] có:
\[\widehat {AEK} = \widehat {BNE} = 90^\circ \]
\[\widehat {EAK} = \widehat {EBN}\] (cùng chắn cung \[CK\])
Vậy:
Suy ra \[\frac{{BE}}{{AK}} = \frac{{BN}}{{AE}}\] hay \[AE.BE = AK.BN\]
c) Kẻ đường kính \[AP\]. Ta có: \[\widehat {ACP} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Ta có tứ giác \[BCEF\]nội tiếp (4 điểm \[B,\,C,\,E,\,F\]cùng nằm trên đường tròn đường kính\[BC\]) nên \[\widehat {CBF} = \widehat {AEF}\] (cùng bù với \[\widehat {CEF}\]).
Mà \[\widehat {CBF} = \widehat {CPA}\] (cùng chắn cung \[AC\])
Nên \[\widehat {AEF} = \widehat {CPA}\].
Trong \[\Delta PAC\,:\widehat {CPA} + \widehat {CAP} = 90^\circ \]
Nên \[\widehat {AEF} + \widehat {CAP} = 90^\circ \]hay \[OA \bot EF\].
Trong \[AEF\]: \[EM \bot AB;\,OA \bot EF\] nên \[I\]là trực tâm \[AEF\].
Suy ra: \[FI \bot AE\] .
Ta có \[FI\,{\rm{//}}\,HE\,\](cùng vuông góc với \[AE\])
\[EI\,{\rm{//}}\,FH\,\](cùng vuông góc với \[AF\])
Nên \[EHFI\]là hình bình hành.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Kí hiệu học sinh lớp 9: \[A,B,C\] và lớp 8 là \[D,G\].
Tập hợp không gian mẫu:
\[\Omega = \left\{ {\left( {A,B} \right),\left( {A,C} \right),\left( {B,C} \right),\left( {A,D} \right),\left( {A,G} \right),\left( {B,D} \right),\left( {B,G} \right),\left( {C,D} \right),\left( {C,G} \right),\left( {D,G} \right)} \right\}\]
Số phần tử của không gian mẫu là:\[n\left( \Omega \right) = 10\]
b) Xét biến cố B: "Trong hai học sinh được chọn, có đúng một học sinh lớp 8 và một học sinh lớp 9".
Các cặp thỏa mãn là \[\left( {A,D} \right),\left( {A,G} \right),\left( {B,D} \right),\left( {B,G} \right),\left( {C,D} \right),\left( {C,G} \right).\]
\[n\left( B \right) = 6\]
\[P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\]
Lời giải
Dựa vào giả thiết vào hình vẽ ta có:
\[AH = 56\,\left( m \right)\] , \[BD = 47\,\left( m \right)\], \[\widehat D = 52,35^\circ \] và \(AH \bot BD\)
Dựa vào hình vẽ xét \[\Delta AHD\]vuông tại \[H\]có
\[\tan \widehat D = \frac{{AH}}{{DH}} \Rightarrow DH = \frac{{AH.}}{{\tan \widehat D}} = \frac{{56}}{{\tan 52,{{35}^ \circ }}} \approx 43,2\,\,\left( m \right)\]
Ta có \(BH = BD - DH = 47 - 42,3 = 3,8\,\,\,\left( m \right)\)m
Dựa vào hình vẽ xét \[\Delta AHB\]vuông tại \[H\] có
\[\tan \widehat B = \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{56}}{{3,8}} \Rightarrow \widehat B \approx 86,{1^ \circ }\]
Vậy góc nghiêng của tháp Pisa so với mặt đất khoảng \[86,{1^ \circ }\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập