Số tiền mua \[9\] quả thanh yên và \[8\] quả táo rừng thơm là \[107\] rupi. Số tiền mua \[7\] quả thanh yên và \[7\] quả táo rừng thơm là \[91\] rupi. Hỏi giá mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo là bao nhiêu rupi ?

Gọi \[x\] (triệu đồng) là số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất và \[y\] (triệu đồng) là số tiền phải trả cho loại hàng thứ hai nếu không kể thuế VAT.

Khi đó, số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất, (kể cả thuế VAT \(10\% )\) là \[\frac{{110}}{{100}}x\] triệu đồng, loại hàng thứ hai, (kể cả thuế VAT \[8\% \]), là \[\frac{{108}}{{100}}y\] triệu đồng. Ta có phương trình :

\[\frac{{110}}{{100}}x + \frac{{108}}{{100}}y = 2,17\] hay \[1,1x + 1,08y = 2,17\].

Khi thuế VAT là \[9\% \] cho cả hai loại hàng thì số tiền phải trả là :

\[\frac{{109}}{{100}}\left( {x + y} \right) = 2,18\] hay \[1,09x + 1,09y = 2,18\].

Ta có hệ phương trình :

                             \[\left\{ \begin{array}{l}1,1x + 1,08y = 2,17\\1,09x + 1,09y = 2,18\end{array} \right.\]

Giải hệ ta được : \[x = 0,5\;;{\rm{ }}y = 1,5\].

Vậy nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả \[0,5\] triệu đồng cho loại hàng thứ nhất và \[1,5\] triệu đồng cho loại hàng thứ hai.

Gọi hai cạnh góc vuông của tam giác vuông là \[x\] (cm) và \[y\] (cm) \[\left( {x > 0,\,y > 0} \right)\].

Khi đó, diện tích tam giác là \[\frac{1}{2}xy\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].

Nếu tăng mỗi cạnh lên \[3\]cm thì diện tích tam giác là \[\frac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right)\], ta có phương trình :

                                      \[\frac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) = \frac{1}{2}xy + 36\]                    (1)

Nếu một cạnh giảm đi \[2\]cm, cạnh kia giảm đi \[4\]cm thì diện tích tam giác là \[\frac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right)\]. Khi đó ta có :

                                      \[\frac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right) = \frac{1}{2}xy - 26\]                    (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) = \frac{1}{2}xy + 36\\\frac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right) = \frac{1}{2}xy - 26\end{array} \right.\]  

\[\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) = xy + 72\\\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right) = xy - 52\end{array} \right.\]  

\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 21\\2x + y = 30\end{array} \right.\]  

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 12\end{array} \right.\]

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông là \[9\]cm và \[12\]cm.