Bạn Mai Nguyên vừa đậu nguyện vọng 1 trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2026. Bạn quyết định chia sẻ niềm vui này đến mọi người bằng các hoạt động thiện nguyện. Cụ thể, bạn sẽ sử dụng 5,5 triệu đồng tiền tiết kiệm để chuẩn bị các phần quà, mỗi phần có giá 150 nghìn đồng. Hỏi bạn có thể chuẩn bị nhiều nhất bao nhiêu phần quà? Biết, bạn cần đổ 100 nghìn tiền xăng để thực hiện chuyến thiện nguyện này.

a) Lập luận được 4 điểm cùng nằm trên đường tròn đường kính \[BC\].

b) Chứng minh được 2 góc \[\widehat {ABD} = \widehat {AQC}\] vì cùng chắn .

Chứng minh (g – g)

Gọi \[J\] giao điểm \[OA\] với \[EF\].

Chứng minh \[\widehat {AEJ} = \widehat {AHF}\]

Chứng minh

Suy ra \[\widehat {AEJ} = \widehat {AHF} = \widehat {ABD} = \widehat {AQC}\]

Mà \[\widehat {QAC} + \widehat {AQC} = {90^o}\]

Suy ra \[\widehat {AEJ} + \widehat {JAE} = {90^o}\]

Nên \[OA \bot EF\] (\[\widehat {AJE} = {90^o}\])

c) Ta có \[\Delta BOC\] cân tại \[O\], \[OM\] là trung tuyến nên \[OM\] cũng là đường phân giác, đường cao.

Do đó, \[\widehat {BAC} = \widehat {MOC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\]

Tương tự: \[\widehat {BAC} + \widehat {ACF} = \widehat {MOC} + \widehat {OCM} = {90^o}\]

Nên \[\widehat {ACF} = \widehat {OCM}\left( 1 \right)\]

Xét tứ giác \[OMIC\] có: \[\widehat {OMC} = \widehat {OIC} = {90^o}\]

Suy ra tứ giác \[OMIC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[OC\].

Do đó \[\widehat {OCM} = \widehat {OIM}\] (cùng chắn ) \[\left( 2 \right)\]

Xét tứ giác \[AFIC\] có: \[\widehat {AFI} = \widehat {AIC} = {90^o}\]

Suy ra tứ giác \[AFIC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AC\]

Do đó \[\widehat {AIF} = \widehat {ACF}\] (cùng chắn )\[\left( 3 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\] suy ra \[\widehat {AIF} = \widehat {OIM}\]

Do đó, 2 tia \[IF\] và \[IM\] trùng nhau.

Vậy 3 điểm \[F,M,I\] thẳng hàng

\[n\left( \Omega \right) = 6 \cdot 6 = 36.\]

\[b,c \in \mathbb{N};1 \le b,c \le 6,\] phương trình \[{x^2} + bx + c = 0\] vô nghiệm khi \[\Delta < 0\] hay \[{b^2} < 4c.\]

\[b = 1,c \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}:\] 6 trường hợp.

\[b = 2,c \in \left\{ {2;3;4;5;6} \right\}:\] 5 trường hợp.

\[b = 3,c \in \left\{ {3;4;5;6} \right\}:\] 4 trường hợp.

\[b = 4,c \in \left\{ {5;6} \right\}:\] 2 trường hợp.

\[b \in \left\{ {5;6} \right\},c \in \emptyset .\]

Có \[6 + 5 + 4 + 2 = 17\] kết quả thuận lợi cho biến cố A “phương trình \[{x^2} + bx + c = 0\] vô nghiệm”. Suy ra \[P\left( A \right) = \frac{{17}}{{36}}.\]