Một cây cầu treo có trụ tháp đôi cao \({\rm{100}}\,{\rm{m}}\) so với mặt của cây cầu và cách nhau \({\rm{400}}\,{\rm{m}}\). Các dây cáp có dạng đồ thị của hàm số \(y = a{x^2}\,(a \ne 0)\) như hình vẽ và được treo trên các đỉnh tháp. Hãy xác định hàm số đó và tính xem độ cao KH của cáp treo là bao nhiêu khi thanh nối tại điểm H cách tâm O của cây cầu một khoảng bằng \(80\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

a) Xét \((O)\); có: \(\widehat {AEB} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\widehat {KEB} = {90^o}\)

Đường kính AB vuông góc với dây CD tại điểm I nên \(\widehat {KIB} = {90^o}\)

Xét \(\Delta KEB\) vuông tại \(E\) có cạnh huyền \(KB\) suy ra \(K;E;B\)thuộc đường tròn đường kính \(KB\) (1)

Xét \(\Delta KIB\)vuông tại \(I\) có cạnh huyền\(KB\) suy ra\(K;I;B\) thuộc đường tròn đường kính \(KB\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(K;I;E;B\)cùng thuộc một đường tròn đường kính \(KB\).

b) Xét \(\Delta AKI\)vuông tại I và \(\Delta ABE\)vuông tại E có \(\widehat {BAE}\)là góc chung nên

\(\Delta AKI\)\(\Delta ABE\) (g-g) do đó \(\frac{{AK}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AE}}\) suy ra \(AK.AE = AB.AI\)(3)

Chứng minh được \(K\)là trực tâm của \(\Delta APB\) nên \(BQ \bot AP\) (\(Q \in AP\)) hay \(\widehat {AQK} = {90^0}\)

Xét \(\Delta BKI\)vuông tại I và \(\Delta BAQ\)vuông tại Q có: \(\widehat {ABQ}\)là góc chung nên

\(\Delta BKI\)\(\Delta BAQ\) (g-g) do đó \(\frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{BI}}{{BQ}}\) suy ra \(BK.BQ = AB.BI\)(4)

Từ (3) và (4) ta có: \(AK.AE + BK.BQ = AB.AI + AB.BI = AB(AI + BI) = AB.AB = A{B^2}\)

Vậy \(AK.AE + BK.BQ = A{B^2}\)

c) Chứng minh \(IK\) là phân giác của \(\widehat {EIQ}\)

Chứng minh được bốn điểm \(A;I;Q;K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AK\) suy ra \(\widehat {QAK} = \widehat {QIK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(QK\))

\(KEBI\)là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\widehat {KIE} = \widehat {KBE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EK\))

Chứng minh được Q thuộc đường tròn đường kính AB

Lại có: \(\widehat {QAK} = \widehat {KBE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(QE\))

Suy ra \(\widehat {KIE} = \widehat {KIQ}\) hay \(IK\)là phân giác của \(\widehat {EIQ}\)

Chứng minh\(\widehat {OQE} = \widehat {QPE}\)

\(\Delta OQB\)cân tại O nên \(\widehat {OQK} = \widehat {OBQ}\) (5)

Chứng minh được \(\Delta IBK\)\(\Delta QPK\)(g-g) suy ra \(\widehat {OBK} = \widehat {QPK}\)(6)

Từ (5) và (6) suy ra \(\widehat {OQK} = \widehat {QPK}\)(*)

Chứng minh được \(\Delta IAK\)\(\Delta EPK\)(g-g) suy ra \(\widehat {IAK} = \widehat {EPK}\)mà \(\widehat {IAK} = \widehat {KQE}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BE\)) nên \(\widehat {EPK} = \widehat {KQE}\)(**)

Từ (*) và (**) ta có: \(\widehat {OQK} + \widehat {KQE} = \widehat {QPK} + \widehat {EPK}\) suy ra \(\widehat {OQE} = \widehat {QPE}\)

Gọi \(x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} y\) ( học sinh) lần lượt là số học sinh nam, số học sinh nữ của lớp \(9A\) (đk: \(x,y \in {N^*}\))

Tìm được một phương trình

Lập được hệ phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 47\\133{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 000x + 114{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 000y = 5{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 814{\kern 1pt} {\kern 1pt} 000\end{array} \right.\)

Tìm được \(x = 24;y = 23\) và kết luận