Tuổi hai anh em cộng lại bằng 21. Tuổi anh hiện nay gấp đôi tuổi em lúc anh bằng tuổi em hiện nay.Tính tuổi của mỗi người hiện nay.

Gọi vận tốc của người xuất phát từ A là \[{{\rm{v}}_1}\](m/phút), của người đi từ B là \[{{\rm{v}}_2}\] (m/phút). Điều kiện \[{{\rm{v}}_1} > 0,{{\rm{v}}_2} > 0\],

Khi gặp nhau tại địa điểm cách A là 2 km, người xuất phát từ A đi được 2000 m, người xuất phát từ B đi được 1600.

Ta có phương trình: \[\frac{{2000}}{{{v_1}}} = \frac{{1600}}{{{v_2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Điều đó còn cho thấy người xuất phát từ B đi chậm hơn.

Khi người đi từ B xuất phát trước người kia 6 phút thì hai người gặp nhau ở chính giữa quãng đường, nghĩa là mỗi người đi được 1,8 km = 1800 m. Ta có phương trình: \[\frac{{1800}}{{{v_1}}} + 6 = \frac{{1800}}{{{v_2}}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\].

Đặt \[\frac{{100}}{{{v_1}}} = x\,\,\] và \[\frac{{100}}{{{v_2}}} = y\], từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{20x = 16y}\\{18x + 6 = 18y}\end{array}} \right.\]

Hệ phương trình này có nghiệm \[(x,y) = \left( {\frac{4}{3};\frac{5}{3}} \right)\].

Từ đó suy ra \[\frac{{100}}{{{v_1}}} = \frac{4}{3}\] nên \[{v_1} = 75;\frac{{100}}{{{v_2}}} = \frac{5}{3}\], suy ra \[{v_2} = 60\].

Các giá trị tìm được \[{v_1}\]và \[{v_2}\] thỏa mãn các điều kiện của bài toán.

Vậy vận tốc đi từ A là 75 m/phút, của người đi từ B là 60 m/phút.

Gọi vận tốc lên dốc và vận tốc xuống dốc lần lượt là \(x\) và \(y\) \(\left( {km/h} \right)\) \(\left( {x,y > 0} \right)\).

Thời gian đi từ A đến B là: \(\frac{4}{x} + \frac{5}{y}\left( h \right)\)và thời gian đi từ B về A là: \(\frac{5}{x} + \frac{4}{y}\left( h \right)\). Ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{x} + \frac{5}{y} = \frac{2}{3}\\\frac{5}{x} + \frac{4}{y} = \frac{{41}}{{60}}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 15\end{array} \right.\)