Cho \({\rm{a}} > 0;{\rm{b}} > 0\). Chứng minh rằng \(:\frac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}} + \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} \ge 2\).

Xét vế trái :\(T = \frac{{a + b}}{c} + \frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b}\)\( = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b}\)\( = \left( {\frac{{\rm{a}}}{{\rm{c}}} + \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}}} \right) + \left( {\frac{{\rm{b}}}{{\rm{c}}} + \frac{{\rm{c}}}{{\rm{b}}}} \right) + \left( {\frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} + \frac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}}} \right).\)

\({\rm{T}} \ge 2 + 2 + 2\) (Áp dụng kết quả ở ví dụ 2) \( \Leftrightarrow {\rm{T}} \ge 6.{\rm{ }}\) (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \({\rm{a}} = {\rm{b}} = {\rm{c )}}{\rm{. }}\)

Ta có \(a > b > 0\) nên \(ab > 0\), do đó \(\frac{1}{{ab}} > 0\).

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \({\rm{a}} > {\rm{b}}\) với số dương \(\frac{1}{{{\rm{ab}}}}\) ta được : a. \(\frac{1}{{ab}} > b \cdot \frac{1}{{ab}}\) hay \(\frac{1}{b} > \frac{1}{a}\). Do đó \(\frac{1}{{\rm{a}}} < \frac{1}{{\;{\rm{b}}}}\).