Chứng minh rằng \({(ax + by)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\).

Áp dụng : Cho \(3x + 4y = 5\), chứng minh rằng \({x^2} + {y^2} \ge 1\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức :

a) \(A = {x^2} - 3x + 2\).                                         b) \(B = {(x + y)^4} - 8{(x + y)^2} + 17\).

Có bất đẳng thức sau không?

a) \(2 \cdot \frac{1}{2}:\frac{3}{4} - 2\frac{1}{3} > \left( {1\frac{1}{2} - 1\frac{1}{3}} \right) \cdot 4\).      b) \( - 7,65 + 4,35 < 4,5 - 8,35\).

Cho bất đẳng thức \(6 > - 4\). Hãy viết những bất đẳng thức mới nếu:

a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với \(3; - 1;2; - 4\).        b) Chia hai vế của bất đăng thức với \(2; - 2; - 1.\)

Cho bất đẳng thức \({\rm{c}} \le {\rm{d}}\). Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau là đúng:

a) \( - 5c \ge - 5d\);                                                 b) \(0,05c - 1,7 \le 0,05d - 1,7\)

c) \(\frac{{\rm{c}}}{{10}} \le \frac{{\rm{d}}}{{10}}\)      d) \(4 - {\rm{c}} \ge 4 - {\rm{d}}\).

e) \(3c + 15 \le 3d + 15\)                                         h) \(0,8 - \frac{c}{5} \ge 0,8 - \frac{d}{5}\)

a) Với giá trị nào của \(x\) thì tổng hai phân thức \(\frac{{3x - 1}}{4}\) và \(\frac{{x - 1}}{5}\) là số dương?

b) Với giá trị nào của y thì hiệu hai phân thức \(\frac{{5y + 1}}{3}\) và \(\frac{{3 - y}}{5}\) là số âm?