Rút gọn các biểu thức :
a) \(\frac{{3 + 3\sqrt 5 - \sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{6 + 2\sqrt 5 }}\); b) \(\frac{{x\sqrt x + x\sqrt y - y\sqrt x - y\sqrt y }}{{x - y + y\sqrt x - y\sqrt y }}\).

Câu hỏi trong đề: 13 bài tập Toán 9 Cánh diều Ôn tập cuối chương 3 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Ta có \(\frac{{3 + 3\sqrt 5 - \sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{6 + 2\sqrt 5 }} = \frac{{3\left( {1 + \sqrt 5 } \right) - \sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 5 } \right)}}{{{{(1 + \sqrt 5 )}^2}}} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}}{{{{(1 + \sqrt 5 )}^2}}} = \frac{{3 - \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 5 }}.\)
b) \(\frac{{x\sqrt x + x\sqrt y - y\sqrt x - y\sqrt y }}{{x - y + y\sqrt x - y\sqrt y }} = \frac{{x\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) - y\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) + y\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {x - y} \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y + y} \right)}}\)

\( = \frac{{{{(\sqrt x + \sqrt y )}^2}\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y + y} \right)}} = \frac{{{{(\sqrt x + \sqrt y )}^2}}}{{\sqrt x + \sqrt y + y}}\). Điều kiện \(x \ge 0;y \ge 0;x \ne y\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Rút gọn các biểu thức sau :
a) \(\frac{1}{{34}}\sqrt {\frac{{{{165}^2} - {{124}^2}}}{{164}}} + 4\sqrt {\frac{{32}}{{{{176}^2} - {{112}^2}}}} \); b) \(\frac{{5\left( {\sqrt 6 - 1} \right)}}{{\sqrt 6 + 1}} + \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}\).

Xem đáp án

Lời giải

\(\begin{array}{l}a)\;\frac{1}{{34}}\sqrt {\frac{{{{165}^2} - {{124}^2}}}{{164}}} + 4\sqrt {\frac{{32}}{{{{176}^2} - {{112}^2}}}} = \frac{1}{{34}}\sqrt {\frac{{41.289}}{{164}}} + 4\sqrt {\frac{{32}}{{64.288}}} = \frac{1}{{34}}\sqrt {\frac{{289}}{4}} + 4\sqrt {\frac{1}{{576}}} \\ = \frac{1}{{34}} \cdot \frac{{17}}{2} + 4 \cdot \frac{1}{{24}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{{12}}\end{array}\)

b) \(\frac{{5\left( {\sqrt 6 - 1} \right)}}{{\sqrt 6 + 1}} + \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} = \frac{{5{{(\sqrt 6 - 1)}^2}}}{{6 - 1}} + \frac{{{{(\sqrt 2 - \sqrt 3 )}^2}}}{{2 - 3}} = 7 - 2\sqrt 6 - 5 + 2\sqrt 6 = 2.\)

Câu 2

Cho biểu thức \(P = \frac{1}{{\sqrt {x - 1} + \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} - \sqrt x }} + \frac{{x\sqrt x + x}}{{\sqrt x + 1}}\).
a) Rút gọn \(P\).
b) Chứng minh rằng biểu thức \({\rm{P}}\) luôn luôn không âm với mọi giá trị của \({\rm{x}}\) làm \({\rm{P}}\) xác định.

Xem đáp án

Lời giải

a) Điều kiện : \(x \ge 1\). Khi đó ta có \(P = \frac{{\sqrt {x - 1} - \sqrt x + \sqrt {x - 1} + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x - 1} - \sqrt x } \right)}} + \frac{{x\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{2\sqrt {x - 1} }}{{ - 1}} + x = x - 2\sqrt {x - 1} \)

Ta có \(P = x - 2\sqrt {x - 1} = \left( {x - 1} \right) - 2\sqrt {x - 1} + 1 = {(\sqrt {x - 1} - 1)^2} \ge 0\)

Vậy P luôn luôn không âm với mọi \(x \ge 1\).

Câu 3