Cho biểu thức \({\rm{P}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} }}{{{\rm{x}} + \sqrt {\rm{x}} }}:\left( {\frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} }} + \frac{{\sqrt {\rm{x}} }}{{\sqrt {\rm{x}} + 1}}} \right)\).
a) Rút gọn \(P\).                                                     b) Tìm giá trị lớn nhất của \(P\).

a) Ta có \(\sqrt {\frac{9}{{16}}:\frac{{25}}{{36}}} - \sqrt {\frac{{49}}{8}} :\sqrt {3\frac{1}{8}} = \sqrt {\frac{9}{{16}}:\frac{{25}}{{36}}} - \sqrt {\frac{{49}}{8}:\frac{{25}}{8}} = \frac{3}{4}:\frac{5}{6} - \sqrt {\frac{{49}}{{25}}} = \frac{9}{{10}} - \frac{7}{5} = - \frac{1}{2}.\)

b) \(\sqrt {{{45,8}^2} - {{44,2}^2}} - \sqrt {6\left[ {{{(\sqrt 2 + 1)}^2} + {{(\sqrt 2 - 1)}^2}} \right]} = \sqrt {1,6.90} - \sqrt {6.6} = 4.3 - 6 = 6.\)

Điều kiện : \(x,y > 0;x \ne y\). Khi đó ta có

\(P = \frac{2}{{\sqrt {xy} }}:{\left( {\frac{{\sqrt y  - \sqrt x }}{{\sqrt {xy} }}} \right)^2} - \frac{{x + y}}{{{{(\sqrt x  - \sqrt y )}^2}}}\)\( = \frac{2}{{\sqrt {xy} }} \cdot \frac{{{{(\sqrt {xy} )}^2}}}{{{{(\sqrt x  - \sqrt y )}^2}}} - \frac{{x + y}}{{{{(\sqrt x  - \sqrt y )}^2}}}\)

\( = \frac{{2\sqrt {xy} }}{{{{(\sqrt x  - \sqrt y )}^2}}} - \frac{{x + y}}{{{{(\sqrt x  - \sqrt y )}^2}}}\frac{{ - \left( {x - 2\sqrt {xy}  + y} \right)}}{{{{(\sqrt x  - \sqrt y )}^2}}} =  - \frac{{{{(\sqrt x  - \sqrt y )}^2}}}{{{{(\sqrt x  - \sqrt y )}^2}}} =  - 1\)

 Vậy giá trị của của \(P\) không phụ thuợc vào \(x\) và \(y\).