Cho biểu thức \({\rm{P}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} }}{{{\rm{x}} + \sqrt {\rm{x}} }}:\left( {\frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} }} + \frac{{\sqrt {\rm{x}} }}{{\sqrt {\rm{x}} + 1}}} \right)\).
a) Rút gọn \(P\).                                                     b) Tìm giá trị lớn nhất của \(P\).

a) Điều kiện : \(x \ge 0;x \ne 9\). Khi đó ta có

\(P = \frac{{\left( {\sqrt x  - 3} \right) + 5\left( {\sqrt x  + 3} \right) + 6}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x  + 2}}{6} = \frac{{\sqrt x  - 3 + 5\sqrt x  + 15 + 6}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x  + 2}}{6} = \frac{{6\sqrt x  + 18}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x  + 2}}{6}\)

\( = \frac{{6\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x  + 2}}{6} = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 3}}\)

Ta có \(P = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 3}} = \frac{{\sqrt x  - 3 + 5}}{{\sqrt x  - 3}} = 1 + \frac{5}{{\sqrt x  - 3}}\).
P có giá trị nguyên \( \Leftrightarrow \frac{5}{{\sqrt x  - 3}}\) có giá trị nguyên\( \Leftrightarrow \sqrt x  - 3 \in U\left( 5 \right) \Leftrightarrow \sqrt x  - 3 \in \left\{ { \pm 1; \pm 5} \right\}\)

Ta có bảng sau :

a) Điều kiện : \(x > 0;x \ne 9\). Khi đó ta có

\(P = \frac{{x + 3 + \sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 3}}\)
b) Xét hiệu\(P - \frac{1}{3} = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{1}{3} = \frac{{3\sqrt x  + 3 - \sqrt x  - 3}}{{3\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{2\sqrt x }}{{3\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} > 0({\rm{\;v\`i \;}}x > 0){\rm{.\;}}\)