Một mảnh vườn hình vuông có độ dài cạnh là \[3x + 1\,\,{\rm{(m)}}{\rm{.}}\] Bên trong mảnh vườn người ta xây một hồ nước hình vuông có độ dài cạnh là \[x + 1\,\,{\rm{(m)}}{\rm{,}}\] phần đất còn lại người ta dùng để trồng cây (như hình bên dưới).

Đa thức dạng thu gọn biểu thị diện tích phần đất trồng cây của mảnh vườn theo biến x là:

Hướng dẫn giải

a) Xét tứ giác \[AHMK\] có \(\widehat {HAK} = 90^\circ \) (do \[\Delta ABC\] vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \));

\[\widehat {AHM} = 90^\circ \] (do \[MH \bot \;AB\] tại \(H\))

\[\widehat {AKM} = 90^\circ \] (do \[MK \bot \;AC\] tại \(K\))

Do đó tứ giác \[AHMK\] là hình chữ nhật.

b) Xét tứ giác AMFC có:

• E là trung điểm MC (gt);

• E là trung điểm AF (do F là điểm đối xứng của A qua E).

Suy ra hai đường chéo MC và AF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên \[AMFC\] là hình bình hành.

c) Tam giác MAB cân tại M có đường cao \(MH\) (vì \(MH \bot AB\,)\) nên \(MH\) cũng là đường trung tuyến, suy ra H là trung điểm AB.

Xét \[\Delta ABC\] có AM và CH là hai đường trung tuyến cắt nhau tại O nên O là trọng tâm của \[\Delta ABC\].

Suy ra \(AO = \frac{2}{3}AM\) nên \(OM = \frac{1}{3}AM.\)

Xét \[\Delta ABC\] vuông tại A có \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC.\)

Do đó \(MO = \frac{1}{6}AM = \frac{{BC}}{6}.\)

b) \[\frac{1}{{x - 3}} + \frac{1}{{x + 3}}\]

\[ = \frac{{x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\]