Cho tam giác \[ABC\] vuông tại A. Gọi M là trung điểm \[BC.\] Kẻ \[MH\] vuông góc với cạnh \[AB\] tại \(H\),  kẻ \[MK\] vuông góc với cạnh \[AC\] tại \(K.\)

a) Chứng minh tứ giác \[AHMK\] là hình chữ nhật.

b) Gọi E là trung điểm đoạn MC . Gọi F là điểm đối xứng với A qua E. Chứng minh: Tứ giác \[AMFC\] là hình bình hành.

c) Gọi O là giao điểm của HC và AM . Chứng minh: \(MO = \frac{{BC}}{6}.\)

Hướng dẫn giải

a) Xét tứ giác \[AHMK\] có \(\widehat {HAK} = 90^\circ \) (do \[\Delta ABC\] vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \));

\[\widehat {AHM} = 90^\circ \] (do \[MH \bot \;AB\] tại \(H\))

\[\widehat {AKM} = 90^\circ \] (do \[MK \bot \;AC\] tại \(K\))

Do đó tứ giác \[AHMK\] là hình chữ nhật.

b) Xét tứ giác AMFC có:

• E là trung điểm MC (gt);

• E là trung điểm AF (do F là điểm đối xứng của A qua E).

Suy ra hai đường chéo MC và AF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên \[AMFC\] là hình bình hành.

c) Tam giác MAB cân tại M có đường cao \(MH\) (vì \(MH \bot AB\,)\) nên \(MH\) cũng là đường trung tuyến, suy ra H là trung điểm AB.

Xét \[\Delta ABC\] có AM và CH là hai đường trung tuyến cắt nhau tại O nên O là trọng tâm của \[\Delta ABC\].

Suy ra \(AO = \frac{2}{3}AM\) nên \(OM = \frac{1}{3}AM.\)

Xét \[\Delta ABC\] vuông tại A có \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC.\)

Do đó \(MO = \frac{1}{6}AM = \frac{{BC}}{6}.\)