Nhân dịp Trung thu, cô Lan cắt bìa làm thành các hộp quà để đựng kẹo tặng cho học sinh. Biết các hộp quà đều có dạng hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy bằng 10 cm, trung đoạn có độ dài \[12{\rm{\;cm}}\] và thể tích bằng \(363,3\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.\)

(a) Tính chiều cao của mỗi hộp quà (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

(b) Cô Lan muốn trang trí cho những chiếc hộp quà đó bằng cách dán giấy màu kín tất cả các mặt (kể cả mặt đáy). Hỏi nếu cô Lan có \({\rm{1}}\,\,{{\rm{m}}^2}\) giấy màu thì sẽ trang trí được nhiều nhất bao nhiêu hộp quà? Giả sử các mép dán không đáng kể.

1) Đa thức thu gọn biểu thị:

a) Tổng diện tích khu đất trồng hoa và trồng táo là:

\({S_1} = 3x\left( {2y + 1} \right) + 3x\left( {y - 2} \right)\)

\(\,\,\,\,\,\,\, = 3x\left( {2y + 1 + y - 2} \right)\)

\(\,\,\,\,\,\,\, = 3x\left( {3y - 1} \right).\)

b) Diện tích khu đất làm sân chơi là:

\({S_2} = 3x\left( {4y + 5} \right) - 3x\left( {3y - 1} \right)\)

\(\,\,\,\,\,\,\, = \,\,3x\left( {4y + 5 - 3y + 1} \right)\)

\(\,\,\,\,\,\,\, = 3x\left( {y + 6} \right).\)

2) Tính diện tích mảnh vườn của bác Tuấn với \(x = 2{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right)\) và \(y = 3{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right).\)

Thay \(x = 2{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right)\) và \(y = 3{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right)\) vào biểu thức ta có:

\[S = 3x\left( {4y + 5} \right) = 3 \cdot 2 \cdot \left( {4.3 + 5} \right) = 102\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\]

Ta có \[{x^2} + 5{y^2} - 3xy - 3x - y + 5 = 0\]

\[2{x^2} + 10{y^2} - 6xy - 6x - 2y + 10 = 0\]

\[{x^2} - 6xy + 9{y^2} + {x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 2y + 1 = 0\]

\[{\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\] \(\left( 1 \right)\)

Vì \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x - 3y} \right)}^2} \ge 0}\\{{{\left( {x - 3} \right)}^2} \ge 0}\\{{{\left( {y - 1} \right)}^2} \ge 0}\end{array}} \right.\] nên phương trình \(\left( 1 \right)\) xảy ra khi và chỉ khi \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 3y = 0}\\{x - 3 = 0}\\{y - 1 = 0}\end{array}} \right.\] hay \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{y = 1}\end{array}} \right.\]

Khi đó \[A = \frac{{{{\left( {x + y - 4} \right)}^{2024}} - {y^{2024}}}}{x} = \frac{{{{\left( {3 + 1 - 4} \right)}^{2024}} - {1^{2024}}}}{3} = \frac{{0 - 1}}{3} = - \frac{1}{3}.\]