. Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, đường cao AH. Kẻ \(HP \bot AB\,\left( {P \in AB} \right)\),\(HQ \bot AC\,\,\)\(\left( {Q \in AC} \right)\). Gọi K là trung điểm của HC; O là giao điểm của AH và PQ.

(a) Tứ giác AQHP là hình gì? Vì sao?

(b) Chứng minh \(\Delta KQH\) cân và OK là đường trung trực của HQ.

(c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AOKC là hình thang cân.

1. Tứ giác APHQ có:

\(\widehat {PAQ} = 90^\circ \) (gt)

\(\widehat {APH} = 90^\circ \,\,\left( {HP \bot AB} \right)\)

\(\widehat {AQH} = 90^\circ \,\,\left( {HQ \bot AC} \right)\)

Do đó APHQ là hình chữ nhật

1. Xét tam giác HQC vuông tại Q, có QK là đường trung tuyến nên

\(QK = KH = KC = \frac{1}{2}HC\) suy ra tam giác KQH cân tại K.

Theo câu a: APHQ là hình chữ nhật nên OP = OH = OA = OQ.

Ta có OH = OQ

Mà KH = KQ (cmt) nên OK là đường trung trực của HQ.

Gọi giao điểm của HQ và OK là I.

Theo câu b, OK là đường trung trực của HQ.

Suy ra OK vuông góc với HQ tại I nên \(\widehat {HIK} = \widehat {HQC} = 90^\circ \).

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên OK // AC.

Suy ra AOKC là hình thang.

Để hình thang AOKC là hình thang cân thì \(\widehat {OAC} = \widehat {KCA}\).

Suy ra \(\widehat {OAC} = \widehat {KCA} = 45^\circ \) (\(\Delta AHC\) vuông tại H).

Do đó \(\Delta ABC\) vuông cân tại A. \({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\)

\(2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} = 2ab + 2bc + 2ca\)

\(2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca = 0\)

\({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} = 0\)

Ta có: \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\)

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\{\left( {a - c} \right)^2} = 0\end{array} \right.\] nên a = b = c.

Ta có \(a + b + c = 2022\) nên a = b = c = 674.

Đáp án đúng : A

c) Tứ giác APHQ có:

\(\widehat {PAQ} = 90^\circ \) (gt)

\(\widehat {APH} = 90^\circ \,\,\left( {HP \bot AB} \right)\)

\(\widehat {AQH} = 90^\circ \,\,\left( {HQ \bot AC} \right)\)

Do đó APHQ là hình chữ nhật

Tứ giác APHQ có:

\(\widehat {PAQ} = 90^\circ \) (gt)

\(\widehat {APH} = 90^\circ \,\,\left( {HP \bot AB} \right)\)

\(\widehat {AQH} = 90^\circ \,\,\left( {HQ \bot AC} \right)\)

Do đó APHQ là hình chữ nhật

Gọi giao điểm của HQ và OK là I.

Theo câu b, OK là đường trung trực của HQ.

Suy ra OK vuông góc với HQ tại I nên \(\widehat {HIK} = \widehat {HQC} = 90^\circ \).

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên OK // AC.

Suy ra AOKC là hình thang.

Để hình thang AOKC là hình thang cân thì \(\widehat {OAC} = \widehat {KCA}\).

Suy ra \(\widehat {OAC} = \widehat {KCA} = 45^\circ \) (\(\Delta AHC\) vuông tại H).

Do đó \(\Delta ABC\) vuông cân tại A.