Cho \({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\) và \(a + b + c = 2022\). Tính \(a,b,c\).

Đáp án đúng: B

Đáp án:

1. Tứ giác APHQ có:

\(\widehat {PAQ} = 90^\circ \) (gt)

\(\widehat {APH} = 90^\circ \,\,\left( {HP \bot AB} \right)\)

\(\widehat {AQH} = 90^\circ \,\,\left( {HQ \bot AC} \right)\)

Do đó APHQ là hình chữ nhật

1. Xét tam giác HQC vuông tại Q, có QK là đường trung tuyến nên

\(QK = KH = KC = \frac{1}{2}HC\) suy ra tam giác KQH cân tại K.

Theo câu a: APHQ là hình chữ nhật nên OP = OH = OA = OQ.

Ta có OH = OQ

Mà KH = KQ (cmt) nên OK là đường trung trực của HQ.

Gọi giao điểm của HQ và OK là I.

Theo câu b, OK là đường trung trực của HQ.

Suy ra OK vuông góc với HQ tại I nên \(\widehat {HIK} = \widehat {HQC} = 90^\circ \).

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên OK // AC.

Suy ra AOKC là hình thang.

Để hình thang AOKC là hình thang cân thì \(\widehat {OAC} = \widehat {KCA}\).

Suy ra \(\widehat {OAC} = \widehat {KCA} = 45^\circ \) (\(\Delta AHC\) vuông tại H).

Do đó \(\Delta ABC\) vuông cân tại A. \({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\)

\(2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} = 2ab + 2bc + 2ca\)

\(2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca = 0\)

\({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} = 0\)

Ta có: \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\)

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\{\left( {a - c} \right)^2} = 0\end{array} \right.\] nên a = b = c.

Ta có \(a + b + c = 2022\) nên a = b = c = 674.

Đáp án đúng : A

c) Tứ giác APHQ có:

\(\widehat {PAQ} = 90^\circ \) (gt)

\(\widehat {APH} = 90^\circ \,\,\left( {HP \bot AB} \right)\)

\(\widehat {AQH} = 90^\circ \,\,\left( {HQ \bot AC} \right)\)

Do đó APHQ là hình chữ nhật

Tứ giác APHQ có:

\(\widehat {PAQ} = 90^\circ \) (gt)

\(\widehat {APH} = 90^\circ \,\,\left( {HP \bot AB} \right)\)

\(\widehat {AQH} = 90^\circ \,\,\left( {HQ \bot AC} \right)\)

Do đó APHQ là hình chữ nhật

Gọi giao điểm của HQ và OK là I.

Theo câu b, OK là đường trung trực của HQ.

Suy ra OK vuông góc với HQ tại I nên \(\widehat {HIK} = \widehat {HQC} = 90^\circ \).

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên OK // AC.

Suy ra AOKC là hình thang.

Để hình thang AOKC là hình thang cân thì \(\widehat {OAC} = \widehat {KCA}\).

Suy ra \(\widehat {OAC} = \widehat {KCA} = 45^\circ \) (\(\Delta AHC\) vuông tại H).

Do đó \(\Delta ABC\) vuông cân tại A.