Cho biểu thức \[M = \;\frac{{x - 3}}{{x + 3}} + \;\frac{{9x - 9}}{{{x^2} - 9}}\;\] và \[N = \;\frac{{x + 3}}{{x - 3}}\;\] (với \[x \ne  - 3,\,\,x \ne 3).\]

a) Tính giá trị của \[N\] khi \(x = \frac{1}{2}\).

b) Chứng minh rằng \[M = \frac{x}{{x - 3}}.\;\]

c) Tìm \[x\] để \(A = \frac{{ - 1}}{5}.\) Với \(A = M:N.\)

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là số lần giảm giá vé \(\left( {x\; > \;0} \right).\)

Mỗi lần giảm \[10\,\,000\] đồng, nên tổng số tiền giảm là: \[10\,\,000x\] (đồng).

Giá vé sau khi giảm là: \[120\,\,000 - 10\,\,000x\] (đồng).

Mỗi lần giảm giá thì số khán giả tăng thêm 100 người, nên tổng số khán giả tăng thêm là \[100x\] (người).

Tổng số khán giả đến xem là: \(800\; + \;100x\) (người).

Doanh thu rạp chiếu phim là: \[R = \left( {120\,\,000 - 10\,\,000x} \right)\left( {800 + 100x} \right)\]

\( = 10\,\,000\left( {12 - x} \right) \cdot 100\left( {8 + x} \right)\)

\( = 1\,\,000\,\,000\left( {12 - x} \right)\left( {8 + x} \right)\)

\( = 1\,\,000\,\,000\left( { - {x^2} + 4x + 96} \right)\)

Để doanh thu \[R\] lớn nhất thì \( - {x^2} + 4x + 96\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có \( - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + 4 + 96\)\( =  - {\left( {x - 2} \right)^2} + 100\)

Vì \( - {\left( {x - 2} \right)^2} \le 0\) với mọi  nên \( - {x^2} + 4x + 96 =  - {\left( {x - 2} \right)^2} + 100 \le 100.\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x\; - \;2\; = \;0\) hay \(x\; = \;2\).

Khi đó, số tiền giảm giá là: \(2\; \cdot 10\,\,000\; = \;20\,\,000\) (đồng).

Giá vé rạp chiếu phim phải bán để doanh thu lớn nhất là:

                                       \(120\,\,000 - 20\,\,000 = 100\,\,000\) (đồng).

Vậy rạp chiếu phim phải bán vé với giá \(100\,\,000\) đồng để doanh thu là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

1) Thể tích của khối chóp Inox là: \(\frac{1}{3} \cdot 90 \cdot 1560 = 46\,\,800\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).\)

a) Xét tứ giác \[BDME\] có \(\widehat {DBE} = 90^\circ \) (do \[ABC\] vuông tại \(B);\)

\(\widehat {BDM} = 90^\circ \) (do \(MD \bot AB\,)\);

\(\widehat {BEM} = 90^\circ \) (do \(ME \bot BC\,)\).

Do đó tứ giác \[BDME\] là hình chữ nhật.

b) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có \(BM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\) nên \[BM = \frac{1}{2}AC\] suy ra \[BM = MC.\]

Suy ra \[\Delta BMC\] cân tại \(M\) có \[ME\] là đường cao (do \(ME \bot BC\,)\) nên \[ME\] là đường trung tuyến hay \[BE = EC.\]

Xét tứ giác \[AFCE\] có \(M\) là trung điểm \(AC\) (gt) và \(M\) là trung điểm \(EF\) (vì \[MF = ME\,).\]

Suy ra hai chéo \(AC\) và \(EF\) cắt nhau tại trung điểm \(M\) của mỗi đường.

Do đó \[AFCE\] là hình bình hành.

c) Gọi \[I,\,\,K\] lần lượt là giao điểm của \[BM,\,\,BF\] với AE. Chứng minh: \[FC = 6IK.\]

Trong \({\rm{\Delta }}ABC\) có

\(AM\; = \;MC\) (do \(M\) là trung điểm \(AC\)) nên \(BM\) là đường trung tuyến của \({\rm{\Delta }}ABC\);

\[BE = EC\] (câu b) nên \(AE\) là hai đường trung tuyến của \({\rm{\Delta }}ABC\).

Mà \[I\] là giao điểm của \(BM\) và \(AE\) nên \(I\) là trọng tâm \({\rm{\Delta }}ABC\).

Suy ra \(AI = \frac{2}{3}AE\) nên \(IE = \frac{1}{3}AE.\)

Vì \[AFCE\] là hình bình hành nên \(AF\,{\rm{//}}\,EC\) hay \(AF\,{\rm{//}}\,BC\).

Mà \(AB \bot BC\) nên \(AB \bot AF\) hay \(\widehat {BAF} = 90^\circ .\)

Xét tứ giác \(ABEF\) có \(\widehat {BAF} = 90^\circ ;\,\,\widehat {ABC} = 90^\circ ;\,\,\widehat {BEF} = 90^\circ .\)

Suy ra \(ABEF\) là hình chữ nhật nên \(K\) là trung điểm của \(AE\) hay \(AK = EK = EK = \frac{1}{2}AE.\)

Ta thấy \(K\) và \(I\) đều nằm trên đoạn \(AE\) mà \(EK\; > \;EI\) \(\left( {{\rm{do}}\,\,\frac{1}{2}AE > \frac{1}{3}AE} \right)\)

Suy ra điểm \(I\) nằm giữa \(E\) và \(K\) nên \(IK\; = \;EK\;--\;EI\) \( = \frac{1}{2}AE - \frac{1}{3}AE = \frac{1}{6}AE\).

Do đó \(AE\; = \;6IK\) (đpcm).