Cho biểu thức \[M = \;\frac{{x - 3}}{{x + 3}} + \;\frac{{9x - 9}}{{{x^2} - 9}}\;\] và \[N = \;\frac{{x + 3}}{{x - 3}}\;\] (với \[x \ne  - 3,\,\,x \ne 3).\]

a) Tính giá trị của \[N\] khi \(x = \frac{1}{2}\).

b) Chứng minh rằng \[M = \frac{x}{{x - 3}}.\;\]

c) Tìm \[x\] để \(A = \frac{{ - 1}}{5}.\) Với \(A = M:N.\)

Hướng dẫn giải

1) Thể tích của khối chóp Inox là: \(\frac{1}{3} \cdot 90 \cdot 1560 = 46\,\,800\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).\)

a) Xét tứ giác \[BDME\] có \(\widehat {DBE} = 90^\circ \) (do \[ABC\] vuông tại \(B);\)

\(\widehat {BDM} = 90^\circ \) (do \(MD \bot AB\,)\);

\(\widehat {BEM} = 90^\circ \) (do \(ME \bot BC\,)\).

Do đó tứ giác \[BDME\] là hình chữ nhật.

b) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có \(BM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\) nên \[BM = \frac{1}{2}AC\] suy ra \[BM = MC.\]

Suy ra \[\Delta BMC\] cân tại \(M\) có \[ME\] là đường cao (do \(ME \bot BC\,)\) nên \[ME\] là đường trung tuyến hay \[BE = EC.\]

Xét tứ giác \[AFCE\] có \(M\) là trung điểm \(AC\) (gt) và \(M\) là trung điểm \(EF\) (vì \[MF = ME\,).\]

Suy ra hai chéo \(AC\) và \(EF\) cắt nhau tại trung điểm \(M\) của mỗi đường.

Do đó \[AFCE\] là hình bình hành.

c) Gọi \[I,\,\,K\] lần lượt là giao điểm của \[BM,\,\,BF\] với AE. Chứng minh: \[FC = 6IK.\]

Trong \({\rm{\Delta }}ABC\) có

\(AM\; = \;MC\) (do \(M\) là trung điểm \(AC\)) nên \(BM\) là đường trung tuyến của \({\rm{\Delta }}ABC\);

\[BE = EC\] (câu b) nên \(AE\) là hai đường trung tuyến của \({\rm{\Delta }}ABC\).

Mà \[I\] là giao điểm của \(BM\) và \(AE\) nên \(I\) là trọng tâm \({\rm{\Delta }}ABC\).

Suy ra \(AI = \frac{2}{3}AE\) nên \(IE = \frac{1}{3}AE.\)

Vì \[AFCE\] là hình bình hành nên \(AF\,{\rm{//}}\,EC\) hay \(AF\,{\rm{//}}\,BC\).

Mà \(AB \bot BC\) nên \(AB \bot AF\) hay \(\widehat {BAF} = 90^\circ .\)

Xét tứ giác \(ABEF\) có \(\widehat {BAF} = 90^\circ ;\,\,\widehat {ABC} = 90^\circ ;\,\,\widehat {BEF} = 90^\circ .\)

Suy ra \(ABEF\) là hình chữ nhật nên \(K\) là trung điểm của \(AE\) hay \(AK = EK = EK = \frac{1}{2}AE.\)

Ta thấy \(K\) và \(I\) đều nằm trên đoạn \(AE\) mà \(EK\; > \;EI\) \(\left( {{\rm{do}}\,\,\frac{1}{2}AE > \frac{1}{3}AE} \right)\)

Suy ra điểm \(I\) nằm giữa \(E\) và \(K\) nên \(IK\; = \;EK\;--\;EI\) \( = \frac{1}{2}AE - \frac{1}{3}AE = \frac{1}{6}AE\).

Do đó \(AE\; = \;6IK\) (đpcm).

Hướng dẫn giải

1) a) \[f\left( { - 1} \right) = 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 3 = 1.\]

b) Ta có \[f\left( x \right) =  - 1\] hay \[2x + 3 =  - 1\] nên \[x =  - 2\].

2) a)Thời gian tổ làm xong việc theo kế hoạch là \(\frac{{650}}{x}\) (giờ).

b) Số khẩu trang tổ may mỗi giờ theo thực tế \[x + 8\] (chiếc)

Thời gian thực tế tổ làm xong việc là: \(\frac{{650}}{{x + 8}}\) (giờ).