Một rạp chiếu phim tổ chức buổi công chiếu đặc biệt. Ban đầu, nếu giá vé là \[120\,\,000\] đồng thì có khoảng 800 người đến xem. Để thu hút thêm khán giả, rạp quyết định giảm giá vé, cứ mỗi lần giảm \[10\,\,000\] đồng thì số khán giả tăng thêm 100 người. Hỏi rạp chiếu phim phải bán vé với giá bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?

Hướng dẫn giải

1) Thể tích của khối chóp Inox là: \(\frac{1}{3} \cdot 90 \cdot 1560 = 46\,\,800\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).\)

a) Xét tứ giác \[BDME\] có \(\widehat {DBE} = 90^\circ \) (do \[ABC\] vuông tại \(B);\)

\(\widehat {BDM} = 90^\circ \) (do \(MD \bot AB\,)\);

\(\widehat {BEM} = 90^\circ \) (do \(ME \bot BC\,)\).

Do đó tứ giác \[BDME\] là hình chữ nhật.

b) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có \(BM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\) nên \[BM = \frac{1}{2}AC\] suy ra \[BM = MC.\]

Suy ra \[\Delta BMC\] cân tại \(M\) có \[ME\] là đường cao (do \(ME \bot BC\,)\) nên \[ME\] là đường trung tuyến hay \[BE = EC.\]

Xét tứ giác \[AFCE\] có \(M\) là trung điểm \(AC\) (gt) và \(M\) là trung điểm \(EF\) (vì \[MF = ME\,).\]

Suy ra hai chéo \(AC\) và \(EF\) cắt nhau tại trung điểm \(M\) của mỗi đường.

Do đó \[AFCE\] là hình bình hành.

c) Gọi \[I,\,\,K\] lần lượt là giao điểm của \[BM,\,\,BF\] với AE. Chứng minh: \[FC = 6IK.\]

Trong \({\rm{\Delta }}ABC\) có

\(AM\; = \;MC\) (do \(M\) là trung điểm \(AC\)) nên \(BM\) là đường trung tuyến của \({\rm{\Delta }}ABC\);

\[BE = EC\] (câu b) nên \(AE\) là hai đường trung tuyến của \({\rm{\Delta }}ABC\).

Mà \[I\] là giao điểm của \(BM\) và \(AE\) nên \(I\) là trọng tâm \({\rm{\Delta }}ABC\).

Suy ra \(AI = \frac{2}{3}AE\) nên \(IE = \frac{1}{3}AE.\)

Vì \[AFCE\] là hình bình hành nên \(AF\,{\rm{//}}\,EC\) hay \(AF\,{\rm{//}}\,BC\).

Mà \(AB \bot BC\) nên \(AB \bot AF\) hay \(\widehat {BAF} = 90^\circ .\)

Xét tứ giác \(ABEF\) có \(\widehat {BAF} = 90^\circ ;\,\,\widehat {ABC} = 90^\circ ;\,\,\widehat {BEF} = 90^\circ .\)

Suy ra \(ABEF\) là hình chữ nhật nên \(K\) là trung điểm của \(AE\) hay \(AK = EK = EK = \frac{1}{2}AE.\)

Ta thấy \(K\) và \(I\) đều nằm trên đoạn \(AE\) mà \(EK\; > \;EI\) \(\left( {{\rm{do}}\,\,\frac{1}{2}AE > \frac{1}{3}AE} \right)\)

Suy ra điểm \(I\) nằm giữa \(E\) và \(K\) nên \(IK\; = \;EK\;--\;EI\) \( = \frac{1}{2}AE - \frac{1}{3}AE = \frac{1}{6}AE\).

Do đó \(AE\; = \;6IK\) (đpcm).

Hướng dẫn giải

1) a) \[f\left( { - 1} \right) = 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 3 = 1.\]

b) Ta có \[f\left( x \right) =  - 1\] hay \[2x + 3 =  - 1\] nên \[x =  - 2\].

2) a)Thời gian tổ làm xong việc theo kế hoạch là \(\frac{{650}}{x}\) (giờ).

b) Số khẩu trang tổ may mỗi giờ theo thực tế \[x + 8\] (chiếc)

Thời gian thực tế tổ làm xong việc là: \(\frac{{650}}{{x + 8}}\) (giờ).