Đa thức \[P\] thỏa mãn \[P + \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = {x^3}\] là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hướng dẫn giải

1) Ta có:\(P\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 1\)

Suy ra \(P\left( {x + 1} \right) = a{\left( {x + 1} \right)^3} + b{\left( {x + 1} \right)^2} + c\left( {x + 1} \right) + 1\)

\(P\left( {x + 1} \right) - P\left( x \right) = a\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^3} - {x^3}} \right] + b\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {x^2}} \right] + c\left[ {x + 1 - x} \right]\)

\( = a\left[ {{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - {x^3}} \right] + b\left( {{x^2} + 2x + 1 - {x^2}} \right) + c\)

\( = a\left( {3{x^2} + 3x + 1} \right) + b\left( {2x + 1} \right) + c\)

\( = 3a{x^2} + 3ax + a + 2bx + b + c\)

\( = 3a{x^2} + \left( {3a + 2b} \right)x + a + b + c\)

Đồng nhất hệ số: \(3a{x^2} + \left( {3a + 2b} \right)x + a + b + c = {x^2}\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}3a = 1\\3a + 2b = 0\\a + b + c = 0\end{array} \right.,\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{{ - 1}}{2}\\c = \frac{1}{6}\end{array} \right..\)

Vậy \(P\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{6}x + 1.\)

2) Ta có:

\(A = {1^2} + {2^2} + {3^2} +  \ldots  + {n^2}\)\( = P\left( 2 \right) - P\left( 1 \right) + P\left( 3 \right) - P\left( 2 \right) + ..... + P\left( {n + 1} \right) - P\left( n \right)\)

\( = P\left( {n + 1} \right) - P\left( 1 \right) = \frac{1}{3}{n^3} + \frac{1}{2}{n^2} + \frac{1}{6}n\)

\( = \frac{{2{n^3} + 3{n^2} + n}}{6}\)\( = \frac{{n\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right)}}{6}.\)