(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \(A = \frac{{2\sqrt x  - 10}}{{\sqrt x  - 3}}\) và \(B = \frac{3}{{\sqrt x  + 5}} + \frac{{20 - 2\sqrt x }}{{x - 25}}\) (với \[x \ge 0\,;\,\,x \ne 9\,;\,\,x \ne 25\,)\].

a) Tính giá trị của biểu thức \[A\] với \(x = 36\).

b) Chứng minh \(B = \frac{1}{{\sqrt x  - 5}}\).

c) Tìm giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P = A \cdot B\) đạt giá trị lớn nhất.

a) Thay \(x = 36\) (TMĐK) vào biểu thức \[A\], ta có:

\(A = \frac{{2\sqrt {36}  - 10}}{{\sqrt {36}  - 3}} = \frac{{2 \cdot 6 - 10}}{{6 - 3}} = \frac{{12 - 10}}{3} = \frac{2}{3}\).

Vậy với \(x = 36\) thì \(A = \frac{2}{3}\).

b) Với \[x \ge 0\,;\,\,x \ne 9\,;\,\,x \ne 25,\] ta có:

\(B = \frac{3}{{\sqrt x  + 5}} + \frac{{20 - 2\sqrt x }}{{x - 25}}\)\( = \frac{3}{{\sqrt x  + 5}} + \frac{{20 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}\)

\( = \frac{{3\left( {\sqrt x  - 5} \right) + 20 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}\)\( = \frac{{3\sqrt x  - 15 + 20 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x  + 5}}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt x  - 5}}\).

Vậy với \[x \ge 0\,;\,\,x \ne 9\,;\,\,x \ne 25\] thì \(B = \frac{1}{{\sqrt x  - 5}}\).

c) Ta có: \(P = A \cdot B = \frac{{2\sqrt x  - 10}}{{\sqrt x  - 3}} \cdot \frac{1}{{\sqrt x  - 5}} = \frac{{2\left( {\sqrt x  - 5} \right)\,}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}} = \frac{2}{{\sqrt x  - 3}}\).

Để \(P = \frac{2}{{\sqrt x  - 3}}\) đạt giá trị lớn nhất, ta xét hai trường hợp sau:

• Nếu \(\sqrt x  - 3 < 0\) hay \(x < 9\) thì \(P\) sẽ nhận giá trị âm (loại).

• Nếu \(\sqrt x  - 3 > 0\) hay \(x > 9\) thì \(P\) nhận giá trị dương.

Để một phân thức có tử số không đổi đạt giá trị lớn nhất thì mẫu số phải là số dương nhỏ nhất.

Vì \(x\) là số nguyên và \(x > 9\) nên \(x = 10\).

Vậy \(x = 10\) là giá trị cần tìm.

     Vậy giá trị nguyên của \(x\) để \(P\) lớn nhất là \(x = 10\).