(4 điểm)

Có hai lọ thủy tinh, lọ thứ nhất có bán kính đáy là \(7\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\) chiều cao \(8\,\,{\rm{cm}}\) đựng đầy nước. Lọ thứ hai có bán kính đáy là \(8\,\,{\rm{cm}}\), chiều cao \(6\,\,{\rm{cm}}\).

a) Tính thể tích nước trong lọ thứ nhất?

b) Nếu đổ hết nước từ trong lọ thứ nhất sang lọ thứ hai thì nước có bị tràn ra ngoài không? Tại sao? (Lấy \({\rm{\pi }} \approx {\rm{3}}{\rm{,14}}\), bỏ qua độ dày của thành bình).

a) Có \(DM \bot AB\) tại \(M\) (do \(M\) là hình chiếu của \(D\) trên \(AB\)) \( \Rightarrow \widehat {DMA} = \widehat {DMB} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta MDA\) vuông tại \(M\) (dhnb) \( \Rightarrow 3\) điểm \(A\,,\,M\,,\,D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AD\) (định lí) \(\left( 1 \right)\).

Có \(DN \bot AC\) tại \(N\) (Do \(N\) là hình chiếu của \(D\) trên \(AC\)) \( \Rightarrow \widehat {DNA} = \widehat {DNC} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta NDA\) vuông tại \(N\)\( \Rightarrow 3\) điểm \(A\,,\,N\,,\,D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AD\) (định lí) \(\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right) \Rightarrow 4\) điểm \(A\,,\,M\,,\,D\,,\,N\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AD\)

Do đó, tứ giác \(AMDN\) nội tiếp (đpcm).

b) Có \(AD \bot BC\) tại \(D\) (do \(AD\) là đường cao của \(\Delta ABC\)) \( \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \).

Mà \(\widehat {ADB} = \widehat {ADM} + \widehat {MDB}\)\( \Rightarrow \widehat {ADM} + \widehat {MDB} = 90^\circ \).

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác \(MBD\) ta có: \(\widehat {DMB} + \widehat {MBD} + \widehat {MDB} = 180^\circ \).

Mà \(\widehat {DMB} = 90^\circ \,\left( {cmt} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {MBD} + \widehat {MDB} = 90^\circ \).

Mặt khác \(\widehat {ADM} + \widehat {MDB} = 90^\circ \,\left( {cmt} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {MBD} = \widehat {ADM}\) (cùng phụ với \(\widehat {MDB}\)).

Ta có \(\widehat {ADM} = \widehat {ANM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(AM\) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(AMDN\))

\[ \Rightarrow \widehat {MBD} = \widehat {ANM}\left( { = \widehat {ADM}} \right)\] hay \[\widehat {ABC} = \widehat {ANM}\] (Do \[M \in AB\,,\,D \in BC\]).

Xét \[\Delta AMN\] và \[\Delta ACB\] có:

\[\widehat {MAN}\] là góc chung; \[\widehat {ANM} = \widehat {ABC}\,\left( {cmt} \right)\]

Do đó $\Delta AMN\backsim \Delta ACB\left(g.g\right)$ suy ra \[\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\].

\[ \Rightarrow AM.AB = AN.AC\] (đpcm).

Gọi \[P\] là giao điểm của \[AQ\] và \[MN\].

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác \(ACQ\) ta có: \(\widehat {ACQ} + \widehat {CQA} + \widehat {QAC} = 180^\circ \).

Mà \[\widehat {ACQ} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \[\left( {O\,;\,R} \right)\])\( \Rightarrow \widehat {CQA} + \widehat {QAC} = 90^\circ \).

Mà \(\widehat {CQA} = \widehat {ABC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(AC\) của đường tròn \[\left( {O\,;\,R} \right)\])

\( \Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {QAC} = 90^\circ \). Mà \[\widehat {ABC} = \widehat {ANM}\,\left( {cmt} \right)\]

\( \Rightarrow \widehat {ANM} + \widehat {QAC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ANP} + \widehat {PAN} = 90^\circ \) (Do \[P \in MN\,,\,P \in AQ\,,\,N \in AC\]).

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác \(APN\) ta có: \(\widehat {APN} + \widehat {ANP} + \widehat {PAN} = 180^\circ \).

Mà \(\widehat {ANP} + \widehat {PAN} = 90^\circ \,\left( {cmt} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {APN} = 90^\circ \) \( \Rightarrow MN \bot AQ\) (đpcm).

c) Có \(\widehat {DME} = 90^\circ \) (Do \(\widehat {DMA} = 90^\circ \)) \( \Rightarrow \Delta MDE\) vuông tại \(M\) (dhnb) \( \Rightarrow 3\) điểm \(E\,,\,M\,,\,D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(ED\) (định lí) \(\left( 3 \right)\).

Có \(DF \bot EC\) tại \(F\,\left( {gt} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {DFE} = \widehat {DFC} = 90^\circ \)\( \Rightarrow \Delta DFE\) vuông tại \(F\)\( \Rightarrow 3\) điểm \(E\,,\,F\,,\,D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(ED\) (định lí) \(\left( 4 \right)\).

Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right) \Rightarrow 4\) điểm \(E\,,\,M\,,\,D\,,\,F\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(ED\)

\( \Rightarrow \widehat {DMF} = \widehat {{E_1}}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(DE\) của đường tròn đường kính \(ED\)).

Có \(CE \bot AB\) tại \(E\,\left( {gt} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {CEA} = 90^\circ \)\( \Rightarrow \Delta CEA\) vuông tại \(E\) \( \Rightarrow 3\) điểm \(C\,,\,E\,,\,A\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AC\) (định lí) \(\left( 5 \right)\).

Có \[\widehat {ADC} = 90^\circ \,\left( {cmt} \right)\]\( \Rightarrow \Delta ADC\) vuông tại \(D\) (dhnb) \( \Rightarrow 3\) điểm \(A\,,\,D\,,\,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AC\) (định lí) \(\left( 6 \right)\).

Từ \(\left( 5 \right)\) và \(\left( 6 \right)\) suy ra điểm \(E\,,\,D\,,\,C\,,\,A\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AC\)

\( \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {{E_1}}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(DC\) của đường tròn đường kính \[AC\]).

Mà \(\widehat {DMF} = \widehat {{E_1}}\,\left( {cmt} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {DMF}\left( { = \widehat {{E_1}}} \right)\) hay \(\widehat {DAN} = \widehat {DMF}\).

Mà \(\widehat {DAN} = \widehat {DMN}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(DN\) của đường tròn đường kính \[AD).\]

\( \Rightarrow \widehat {DMN} = \widehat {DMF}\). Mà hai tia \(MN\,,\,MF\) cùng nằm về một phía so với \(MD\)

Suy ra ba điểm \(M\,,\,F\,,\,N\) thẳng hàng.