(4,0 điểm):

Một ly nước hình trụ có chiều cao 15 cm, đường kính đáy là 6 cm đựng đầy nước tinh khiết và đặt trên mặt bàn bằng phẳng (như hình bên).

a) Tính thể tích nước có trong ly.

b) Nếu ta thả 5 quả cầu giống nhau có bán kính mỗi quả cầu 1 cm vào ly nước sao cho các quả cầu ngập chìm trong ly nước thì sau khi nước trong ly tràn ra, thể tích nước còn lại trong ly sẽ là bao nhiêu? (Coi độ dày ly không đáng kể, giả thiết lấy \(\pi  \approx 3,14\) và làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

2)

Hình vẽ đúng hết câu a)

0,25

a)

Vì \[AB \bot PQ\] tại D nên \(\Delta IPD\) vuông tại D, suy ra ba điểm P, D, I cùng thuộc đường tròn đường kính PI (1)

0,25

Xét đường tròn (O; R) có \(\widehat {PMQ}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, nên: \[\widehat {PMQ} = 90^\circ \] hay \(\widehat {PMI} = 90^\circ \)

0,25

Suy ra \(\Delta MIP\) vuông tại M, suy ra ba điểm P, M, I cùng thuộc đường tròn đường kính PI (2)

0,25

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm P, M, I, D cùng thuộc đường tròn đường kính PI.

0,25

b)

*Chứng minh: $\Delta QID\backsim \Delta QPM\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$ .

Từ đó suy ra: QI . QM = QD . QP (1)

*Chứng minh: $\Delta QDB\backsim \Delta QBP\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$.

Từ đó suy ra: QD . QP = QB² (2)

Từ (1) và (2) suy ra: QI . QM = QB²

0,25

0,25

0,25

* Tính \(\widehat {APB}\)

Xét \(\Delta OAD\) vuông tại D có: \(OD = \frac{1}{2}.OQ = \frac{1}{2}.R\)

Ta có: \(\cos \widehat {AOD} = \frac{{OD}}{{OA}} = \frac{1}{2}\) nên \(\widehat {AOD} = 60^\circ .\)

Suy ra: \(\widehat {AOB} = 120^\circ \). Từ đó suy ra: \(\widehat {APB} = 60^\circ \).

0,25

0,25

c)

Chứng minh: \(\Delta APB\) và \(\Delta AMC\) là các tam giác đều

Chứng minh: \(\widehat {MAP} = \widehat {CAB}\) (cùng cộng với \(\widehat {PAC}\) để bằng 60^o)

*Chứng minh: \(\Delta AMP = \Delta ACB\,(c - g - c)\)

Từ đó ta có: MP = BC mà MA = MC.

Suy ra S = MP + MA = BC + MC = MB

Do MB là dây cung nên MB có giá trị lớn nhất khi MB là đường kính của đường tròn (O ; R)

0,25

0,25