Một khối lập phương có độ dài cạnh là \(2{\rm{cm}}\) được chia thành 8 khối lập phương cạnh \(1{\rm{cm}}\). Hỏi có bao nhiêu tam giác tạo thành từ các đỉnh của các khối lập phương cạnh \(1{\rm{cm}}\)?

Đáp số: 2876

Xét trong hệ trục tọa độ \[Oxyz\] với \(O\) là đỉnh dưới của khối lập phương và các trục \[Ox,Oy,Oz\] có các chiều dương là tia \(OB,OC,OI\) như hình vẽ dưới:

Khi đó tập hợp tất cả các đỉnh của các khối lập phương cạnh 1 có tọa độ là \(\left( {a;b;c} \right)\) với \(a,b,c \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).

Theo quy tắc nhân số lượng các đỉnh như vậy là \({3^3} = 27\).

Số cách chọn ra 3 đỉnh phân biệt trong 27 đỉnh nói trên là \(C_{27}^3\).

Ta đếm số lượng các bộ ba đỉnh thẳng hàng.

Không mất tính tổng quát giả sử \({x_A} < {x_C}\).

Khi đó \({x_A} < {x_B} < {x_C}\) và \({x_A},{x_B},{x_C} \in \left\{ {0;1;2} \right\} \Rightarrow {x_A} = 0;{x_B} = 1;{x_C} = 2\).

Suy ra \(B\) là trung điểm của \[AC.\]

Từ nhận xét ta thấy: Số bộ ba điểm \(\left( {A,B,C} \right)\) chính bằng số bộ \(\left( {A,C} \right)\) thỏa mãn trung điểm của \[AC\]có tọa độ nguyên.

Điều này tương đương với số bộ hai điểm \[A,C\] sao cho \({x_A},{x_C}\) cùng tính chẵn lẻ; \({y_A},{y_C}\) cùng tính chẵn lẻ; \({z_A},{z_C}\) cùng tính chẵn lẻ.

Lưu ý rằng \({x_A},{x_C}\) cùng lẻ thì \({x_A} = {x_C} = 1\). Do đó nên trong ba số \({x_A},{y_A},{z_A}\) chỉ có tối đa 2 số lẻ.

Ta xét các trường hợp:

TH1: \({x_A},{y_A},{z_A}\) có đúng 2 số lẻ; tức là có đúng 2 số \(1\). Thế thì \[A,C\] sẽ cùng thuộc tập \(\left\{ {\left( {1;1;0} \right);\,\left( {1;1;2} \right)} \right\};\,\left\{ {\left( {1;0;1} \right);\,\left( {1;2;1} \right)} \right\};\,\left\{ {\left( {0;1;1} \right);\,\left( {2;1;1} \right)} \right\}\).

Như vậy sẽ có 3 cặp \(\left( {A,C} \right)\) ở trường hợp này.

TH2: \({x_A},{y_A},{z_A}\) có đúng 1 số lẻ. Khi đó \[A,C\] cùng thuộc các tập

\(\left\{ {\left( {1;a;b} \right)|a,b \in \left\{ {0;2} \right\};\left( {a;1;b} \right)|a,b \in \left\{ {0;2} \right\};\,\left( {a;b;1} \right)|a,b \in \left\{ {0;2} \right\}} \right\}\).

Như vậy sẽ có \(C_4^2.3 = 18\) cặp \(\left( {A,C} \right)\) ở trường hợp này.

TH3: \({x_A},{y_A},{z_A}\) không có số lẻ. Khi đó tất cả các tọa độ của \[A,C\] đều chẵn.

Có tất cả \({2^3} = 8\) đỉnh có tất cả các tọa độ đều chẵn.

Chọn hai điểm \[A,C\] trong các điểm này có \(C_8^2\) cách.

Vậy nên có tổng cộng tất cả \(C_8^2 + 18 + 3 = 49\) bộ ba đỉnh thẳng hàng.

Từ đó sẽ có \(C_{27}^3 - 49 = 2876\) tam giác được tạo thành.