PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Thầy Nguyễn Công Toàn là một giáo viên dạy hóa rất giỏi ở trường THPT Phụ Dực. Thầy đặc biệt giỏi công nghệ và say mê chuyên môn. Thầy có ngân hàng đề gồm 20 câu rất hay và độc lạ. Trong một buổi giao bài tập về nhà cho đội tuyển học sinh giỏi gồm 5 bạn, thầy để AI lựa chọn ngẫu nhiên một số câu hỏi từ ngân hàng đề trên cho từng bạn. Gọi \[A\] là biến cố xảy ra đồng thời các điều kiện sau:

- Số câu hỏi chung của cả \[5\] bạn là \[2\].

- Số câu hỏi chung của nhóm gồm \[4\]bạn bất kì trong đội là \[3\].

- Số câu hỏi chung của nhóm gồm \[3\]bạn bất kì trong đội là.\[4\]

Giả sử xác suất xảy ra biến cố \[A\]là \[p\]. Tính \[{10^{10}}p\] (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đáp án: 6940

+) Để thỏa mãn điều kiện đề bài, ta cần đếm xem có bao nhiêu câu rơi vào mỗi trường hợp:

 Trường hợp 1: Câu dành cho cả \[5\] bạn có \[2\]câu.

 Trường hợp 2: Câu dành cho đúng \[4\] bạn

Vì nhóm \[4\] bạn bất kỳ có \[3\] câu chung mà trong \[3\] câu này đã có \[2\] câu chung của cả \[5\] bạn trong TH1. Vậy mỗi nhóm \[4\] người phải có thêm \[1\] câu riêng nữa.

Vì có \[C_5^4 = 5\] cách chọn ra nhóm \[4\] người, nên sẽ có \[5.1 = 5\] câu.

 Trường hợp 3: Câu dành cho đúng \[3\] bạn

Vì nhóm \[3\] bạn bất kỳ có \[4\] câu chung. Ta xét nhóm \[3\] bạn này đang sở hữu bao nhiêu câu từ \[2\] trường hợp trên:

o \[2\] câu chung của cả \[5\] bạn.

o Các câu chung của nhóm \[4\] bạn (mà nhóm \[3\] bạn này là thành viên). Một nhóm \[3\] người sẽ nằm trong đúng \[2\] nhóm \[4\] người khác nhau. Suy ra nhóm này có thêm \[2.1 = 2\] câu chung nữa.

o Tổng cộng: \[2 + 2 = 4\] câu chung.

Suy ra không có câu riêng nào chỉ dành riêng cho đúng \[3\] bạn

+) Ta có \[20\]câu hỏi, ta phải xếp chúng vào các trường hợp:

Trường hợp 1: Câu dành cho cả \[5\] bạn có \[2\] câu. Chọn \[2\] câu từ \[20\] câu.

Số cách chọn: \[C_{20}^2\].

Trường hợp 2: Câu dành cho đúng \[4\]bạn

Chọn \[5\] câu từ \[18\]câu còn lại, sau đó xếp mỗi câu vào một trong \[5\] nhóm \[4\] người khác nhau.

Số cách chọn: \[C_{18}^5 \times 5!\]

Còn lại \[13\] câu thì \[13\] câu này tuyệt đối không được rơi vào nhóm \[3,{\rm{ }}4,\] hay \[5\] người nữa (vì nếu rơi vào sẽ làm thay đổi các con số đề bài đã cho).

Như vậy câu còn lại chỉ có thể:

 Không giao cho ai (\[1\] cách).

 Giao cho đúng \[1\] người (\[C_5^1 = 5\]cách).

 Giao cho đúng \[2\] người (\[C_5^2 = 10\] cách).

Tổng cộng mỗi câu có \[1 + 5 + 10 = 16\] cách chọn câu hỏi cho \[1\] người

Số cách cho \[13\] câu \[{16^{13}}\].

+) Số kết quả thuận lợi: \[n(A) = C_{20}^2 \times C_{18}^5 \times 5! \times {16^{13}}\].

+) Không gian mẫu:

Mỗi câu hỏi có \[{2^5} = 32\] cách giao cho \[5\] bạn. Với \[20\] câu, ta có\[n(\Omega ) = {32^{20}}\].

\[ \Rightarrow p = \frac{{C_{20}^2 \times C_{18}^5 \times 5! \times {{16}^{13}}}}{{{{32}^{20}}}} = \frac{{{{190.8568.120.2}^{52}}}}{{{2^{100}}}}\]

\[ \Rightarrow p = \frac{{195.350.400}}{{{2^{48}}}}\]

\[ \Rightarrow {10^{10}}p = \frac{{{{195.350.400.10}^{10}}}}{{{2^{48}}}} \approx 6940\].