Vệ tinh hoạt động dựa trên nguyên lý vật lý của vật lý Newton. Một vật thể bị kéo bởi một lực hấp dẫn từ một vật thể khác sẽ chuyển động theo một quỹ đạo elip xung quanh vật thể đó. Để đưa vệ tinh lên quỹ đạo, người ta sử dụng các loại tên lửa đẩy khác nhau để cung cấp cho vệ tinh động lượng cần thiết để thoát khỏi trọng lực của Trái Đất và duy trì quỹ đạo ổn định. Để thuận tiện ta quy ước một quỹ đạo gần tròn thành một đường tròn. Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), gốc tọa độ là tâm trái đất, một vệ tinh nhân tạo có quỹ đạo được coi như một đường tròn có bán kính \(13440km\) có điểm xuất phát là điểm \(B(4032;0; - 5376)\) và đây cũng là điểm gần Trái Đất nhất của vệ tinh. Quỹ đạo của vệ tinh này nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục tung \(Oy\) và có tâm nằm trên đường thẳng \(OB\). Coi trái đất là hình cầu hoàn hảo có bán kính \(6400km\).

                           

Ta có các thông tin từ đề bài:

Gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) là tâm Trái Đất.

Bán kính quỹ đạo vệ tinh là \({R_S} = 13440km\).

Điểm \(B(4032;0; - 5376)\) là điểm xuất phát và cũng là điểm gần Trái Đất nhất của vệ tinh.

Quỹ đạo vệ tinh nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục tung \(Oy\).

Tâm quỹ đạo \(I\) nằm trên đường thẳng \(OB\).

Bán kính Trái Đất là \({R_E} = 6400km\).

Điểm cực Nam của Trái Đất là \(K(0;3840;5120)\).

\(OB = \sqrt {{{(4032 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{( - 5376 - 0)}^2}}  = 6720km\).

Vì quỹ đạo của vệ tinh là một đường tròn có bán kính \({R_S} = 13440km\), và \(B\) là điểm gần Trái Đất nhất trên quỹ đạo, đồng thời tâm quỹ đạo \(I\) nằm trên đường thẳng \(OB\).

Ta có \(IB = {R_S} = 13440km\).

Vì \(B\) là điểm gần Trái Đất nhất, nên \(O\) phải nằm giữa \(I\) và \(B\).

Do đó, \(IB = IO + OB\)\( \Leftrightarrow 13440 = IO + 6720 \Rightarrow IO = 6720km\).

Vì \(I\) nằm trên đường thẳng \(OB\) và \(IO = OB\), nhưng \(O\) nằm giữa \(I\) và \(B\), nên \(I\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(O\).

Vậy tọa độ tâm quỹ đạo là \(I( - 4032;0;5376)\).

a) Mặt phẳng chứa quỹ đạo của vệ tinh vuông góc với trục tung \(Oy\). Do đó, mặt phẳng chứa quỹ đạo của vệ tinh có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (0;1;0)\).

Vậy a) đúng.

b) Mặt phẳng chứa quỹ đạo của vệ tinh vuông góc với trục \(Oy\), nên phương trình của nó có dạng \(y = c\).

Vì điểm \(B(4032;0; - 5376)\) nằm trên quỹ đạo, nên \(B\) cũng nằm trên mặt phẳng này.

Thay tọa độ \(B\) vào phương trình \(y = c\), ta được \(0 = c\).

Vậy phương trình mặt phẳng chứa quỹ đạo là \(y = 0\).

Vậy b) sai.

c) Tâm quỹ đạo là \(I( - 4032;0;5376)\).

Điểm \(A( - 4034;1;5374)\).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua \(I\) và \(A\) là \(\overrightarrow {AI}  = (2; - 1;2)\).

Phương trình đường thẳng đi qua \(I\) và \(A\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 4032 + 2t}\\{y =  - t}\\{z = 5376 + 2t}\end{array}} \right.\)

Vậy, c) là đúng.

d) Khoảng cách gần nhất giữa vệ tinh và điểm cực Nam \(K(0;3840;5120)\).

Quỹ đạo vệ tinh là đường tròn tâm \(I( - 4032;0;5376)\), bán kính \({R_S} = 13440km\), nằm trong mặt phẳng \(y = 0\).

Gọi \(K'(0;0;5120)\) là hình chiếu của \(K\) lên mặt phẳng \(y = 0\).

Khoảng cách từ \(K\) đến mặt phẳng \(y = 0\) là \(KK' = |{y_K}| = 3840km\).

Khoảng cách từ \(K'\) đến tâm quỹ đạo \(I\):\(IK' = \sqrt {{{( - 4032 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(5376 - 5120)}^2}} \)

\( \Rightarrow IK' = \sqrt {16322560}  \approx 4040,12km\)\( < {R_S} = 13440km\), điểm \(K'\) nằm bên trong đường tròn quỹ đạo.

Khoảng cách ngắn nhất từ \(K'\) đến đường tròn quỹ đạo là

\({d_{min}} = {R_S} - IK' = 13440 - \sqrt {16322560}  \approx 9399.88km\).

Khoảng cách gần nhất giữa vệ tinh và điểm cực Nam \(K\) là:

\({d'_{min}}(K,{\rm{ve tinh}}) = \sqrt {K{{K'}^2} + {d^2}_{min}} \)\( = \sqrt {{{3840}^2} + {{(13440 - \sqrt {16322560} )}^2}} \)\( \approx 10153,98278km\).

Làm tròn đến hàng đơn vị, ta được \(10154km\).

Vậy d) sai.