Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(\left( {ABCD} \right)\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\) biết \(AB = 6\), \(AD = CD = 3\). Hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là điểm \(H\) thuộc đoạn thẳng \(AD\) sao cho \(AH = 2HD\), biết \(SH = 6\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(CD\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 68,6

Gọi \(H\) là trung điểm của cạnh \(O'A'\). Khi đó \(B'H \bot O'A'\).

Vì \(A'\left( {240;450;0} \right)\) nên \(O'A' = OA = 240\)cm\( = 2,4\)m; \(OO' = 450\)cm \( = 4,5\)m.

Vì \(B'\left( {120;450;300} \right)\) nên \(O'H = 120\)cm\( = 1,2\)m; \(B'H = 300\)cm\( = 3\)m.

Diện tích lát gạch nền nhà là \({S_1} = {S_{OAA'O'}} = OA.OO' = 2,4.4,5 = 10,8\)\(\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích hai mái nhà là

\[{S_2} = 2{S_{OBB'O'}} = 2.OO'.O'B' = 2.OO'.\sqrt {B'{H^2} + O'{H^2}}  = 2.4,5.\sqrt {{3^2} + 1,{2^2}}  = \frac{{27\sqrt {29} }}{5}\] \(\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích mặt trước và mặt sau nhà là \({S_3} = 2{S_{\Delta O'A'B'}} = 2.\frac{1}{2}.O'A'.B'H = 2.\frac{1}{2}.2,4.3 = 7,2\)\(\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Tổng chi phí làm mỗi căn nhà là \(T = 0,2{S_1} + 0,8{S_2} + 6{S_3} \approx 68,6\) (triệu đồng).

Đáp án: 56,8.

Chọn hệ trục \(Oxy\) với gốc tọa độ \(O\) trùng với tâm đường tròn lớn của hình nón cụt.

\( \Rightarrow A\left( {0;3} \right),B\left( {4;1} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(AB:f\left( x \right) =  - \frac{1}{2}x + 3\).

Thể tích dung dịch có chiều cao \(h = 2\).

\(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx}  = \pi \int\limits_0^2 {{{\left[ { - \frac{1}{2}x + 3} \right]}^2}dx}  = \frac{{38\pi }}{3}\).

Thời gian bơm: \(t = \frac{V}{v} = \frac{{45\pi }}{2} \approx 56,8\).