Bác An có một mảnh đất vườn diện tích 6 ha. Bác dự tính trồng Xoài cát và Mận đường cho mùa vụ sắp tới. Nếu trồng Mận thì bác An cần 10 ngày để trồng một ha. Nếu trồng Xoài thì bác An cần 20 ngày để trồng một ha. Biết rằng mỗi ha Mận sau thu hoạch bán được 40 triệu đồng, mỗi ha Xoài sau thu hoạch bán được 60 triệu đồng và bác An chỉ còn 100 ngày để canh tác cho kịp mùa vụ. Hỏi số tiền (triệu đồng) nhiều nhất mà bác An có thể thu được sau mùa vụ này là bao nhiêu?

Ta có các thông tin từ đề bài:

Gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) là tâm Trái Đất.

Bán kính quỹ đạo vệ tinh là \({R_S} = 13440km\).

Điểm \(B(4032;0; - 5376)\) là điểm xuất phát và cũng là điểm gần Trái Đất nhất của vệ tinh.

Quỹ đạo vệ tinh nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục tung \(Oy\).

Tâm quỹ đạo \(I\) nằm trên đường thẳng \(OB\).

Bán kính Trái Đất là \({R_E} = 6400km\).

Điểm cực Nam của Trái Đất là \(K(0;3840;5120)\).

\(OB = \sqrt {{{(4032 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{( - 5376 - 0)}^2}}  = 6720km\).

Vì quỹ đạo của vệ tinh là một đường tròn có bán kính \({R_S} = 13440km\), và \(B\) là điểm gần Trái Đất nhất trên quỹ đạo, đồng thời tâm quỹ đạo \(I\) nằm trên đường thẳng \(OB\).

Ta có \(IB = {R_S} = 13440km\).

Vì \(B\) là điểm gần Trái Đất nhất, nên \(O\) phải nằm giữa \(I\) và \(B\).

Do đó, \(IB = IO + OB\)\( \Leftrightarrow 13440 = IO + 6720 \Rightarrow IO = 6720km\).

Vì \(I\) nằm trên đường thẳng \(OB\) và \(IO = OB\), nhưng \(O\) nằm giữa \(I\) và \(B\), nên \(I\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(O\).

Vậy tọa độ tâm quỹ đạo là \(I( - 4032;0;5376)\).

a) Mặt phẳng chứa quỹ đạo của vệ tinh vuông góc với trục tung \(Oy\). Do đó, mặt phẳng chứa quỹ đạo của vệ tinh có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (0;1;0)\).

Vậy a) đúng.

b) Mặt phẳng chứa quỹ đạo của vệ tinh vuông góc với trục \(Oy\), nên phương trình của nó có dạng \(y = c\).

Vì điểm \(B(4032;0; - 5376)\) nằm trên quỹ đạo, nên \(B\) cũng nằm trên mặt phẳng này.

Thay tọa độ \(B\) vào phương trình \(y = c\), ta được \(0 = c\).

Vậy phương trình mặt phẳng chứa quỹ đạo là \(y = 0\).

Vậy b) sai.

c) Tâm quỹ đạo là \(I( - 4032;0;5376)\).

Điểm \(A( - 4034;1;5374)\).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua \(I\) và \(A\) là \(\overrightarrow {AI}  = (2; - 1;2)\).

Phương trình đường thẳng đi qua \(I\) và \(A\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 4032 + 2t}\\{y =  - t}\\{z = 5376 + 2t}\end{array}} \right.\)

Vậy, c) là đúng.

d) Khoảng cách gần nhất giữa vệ tinh và điểm cực Nam \(K(0;3840;5120)\).

Quỹ đạo vệ tinh là đường tròn tâm \(I( - 4032;0;5376)\), bán kính \({R_S} = 13440km\), nằm trong mặt phẳng \(y = 0\).

Gọi \(K'(0;0;5120)\) là hình chiếu của \(K\) lên mặt phẳng \(y = 0\).

Khoảng cách từ \(K\) đến mặt phẳng \(y = 0\) là \(KK' = |{y_K}| = 3840km\).

Khoảng cách từ \(K'\) đến tâm quỹ đạo \(I\):\(IK' = \sqrt {{{( - 4032 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(5376 - 5120)}^2}} \)

\( \Rightarrow IK' = \sqrt {16322560}  \approx 4040,12km\)\( < {R_S} = 13440km\), điểm \(K'\) nằm bên trong đường tròn quỹ đạo.

Khoảng cách ngắn nhất từ \(K'\) đến đường tròn quỹ đạo là

\({d_{min}} = {R_S} - IK' = 13440 - \sqrt {16322560}  \approx 9399.88km\).

Khoảng cách gần nhất giữa vệ tinh và điểm cực Nam \(K\) là:

\({d'_{min}}(K,{\rm{ve tinh}}) = \sqrt {K{{K'}^2} + {d^2}_{min}} \)\( = \sqrt {{{3840}^2} + {{(13440 - \sqrt {16322560} )}^2}} \)\( \approx 10153,98278km\).

Làm tròn đến hàng đơn vị, ta được \(10154km\).

Vậy d) sai.

Đáp án: 68,6

Gọi \(H\) là trung điểm của cạnh \(O'A'\). Khi đó \(B'H \bot O'A'\).

Vì \(A'\left( {240;450;0} \right)\) nên \(O'A' = OA = 240\)cm\( = 2,4\)m; \(OO' = 450\)cm \( = 4,5\)m.

Vì \(B'\left( {120;450;300} \right)\) nên \(O'H = 120\)cm\( = 1,2\)m; \(B'H = 300\)cm\( = 3\)m.

Diện tích lát gạch nền nhà là \({S_1} = {S_{OAA'O'}} = OA.OO' = 2,4.4,5 = 10,8\)\(\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích hai mái nhà là

\[{S_2} = 2{S_{OBB'O'}} = 2.OO'.O'B' = 2.OO'.\sqrt {B'{H^2} + O'{H^2}}  = 2.4,5.\sqrt {{3^2} + 1,{2^2}}  = \frac{{27\sqrt {29} }}{5}\] \(\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích mặt trước và mặt sau nhà là \({S_3} = 2{S_{\Delta O'A'B'}} = 2.\frac{1}{2}.O'A'.B'H = 2.\frac{1}{2}.2,4.3 = 7,2\)\(\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Tổng chi phí làm mỗi căn nhà là \(T = 0,2{S_1} + 0,8{S_2} + 6{S_3} \approx 68,6\) (triệu đồng).