Cho đường tròn \[\left( {O\,;\,\,R} \right)\] đường kính \[AB,\] vẽ tiếp tuyến \[x'x\] tại \[A\] với đường tròn \[\left( O \right).\] Trên \[x'x\] lấy điểm \[C\] (\[C\] khác \[A\]). \[BC\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại \[D\] (\[D\] khác \[B\]). Kẻ \[OI\] vuông góc với \[BD\] tại \[I.\] Tia \[OI\] cắt \[x'x\] tại \[E.\] Tia \(CO\) cắt \(BE\) tại \[F\].
a) Chứng minh tứ giác \[CAOI\] nội tiếp được trong một đường tròn và \(CO \bot BE\) tại \[F\].
b) Chứng minh: \[IE\] là phân giác của \(\widehat {AIF}\) và \(BF \cdot BE = 2{R^2}\).
c) Trong trường hợp \(AC = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\). Tính theo \[R\] diện tích tam giác \[ABC\] phần nằm trong đường tròn \[\left( O \right).\]
Cho đường tròn \[\left( {O\,;\,\,R} \right)\] đường kính \[AB,\] vẽ tiếp tuyến \[x'x\] tại \[A\] với đường tròn \[\left( O \right).\] Trên \[x'x\] lấy điểm \[C\] (\[C\] khác \[A\]). \[BC\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại \[D\] (\[D\] khác \[B\]). Kẻ \[OI\] vuông góc với \[BD\] tại \[I.\] Tia \[OI\] cắt \[x'x\] tại \[E.\] Tia \(CO\) cắt \(BE\) tại \[F\].
a) Chứng minh tứ giác \[CAOI\] nội tiếp được trong một đường tròn và \(CO \bot BE\) tại \[F\].
b) Chứng minh: \[IE\] là phân giác của \(\widehat {AIF}\) và \(BF \cdot BE = 2{R^2}\).
c) Trong trường hợp \(AC = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\). Tính theo \[R\] diện tích tam giác \[ABC\] phần nằm trong đường tròn \[\left( O \right).\]
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
a) Vì \(\Delta AOC\) vuông tại \[A\] (\[AC\] là tiếp tuyến) nên \(\Delta AOC\) nội tiếp đường tròn đường kính \[CO\] (1)
Vì \(\Delta COI\) vuông tại \[H\] nên \(\Delta COI\) nội tiếp đường tròn đường kính \[CO\] (2)
Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \[A,\,\,O,\,\,I,\,\,C\] cùng thuộc một đường tròn đường kính \[CO\].
Vậy tứ giác \[CAOI\] nội tiếp.
Xét \(\Delta BEC\) có hai đường cao \[EI,\,\,BA\] cắt nhau tại \[O\] nên \[O\] là trực tâm.
Do đó \(CO \bot BE\) tại \[F.\]
b) Chứng minh được tứ giác \[BIOF\] nội tiếp.
\(\widehat {OIF} = \widehat {OBF}\) (cùng chắn cung \[IF\] của đường tròn đường kính \[OB\])
\(\widehat {ACO} = \widehat {AIO}\) (cùng chắn cung \[AO\] của đường tròn đường kính \[CO\])
\(\widehat {ACO} = \widehat {OBF}\) (cùng phụ \[\widehat {CEB}\])
\(\widehat {AIO} = \widehat {OIF}\) (\[OI\] là phân giác của \(\widehat {AIF}\))
Xét \(\Delta BIE\) và \(\Delta BFC\) có: \(\widehat {IBE}\) chung; \(\widehat {BIE} = \widehat {BFC} = 90^\circ \).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{BI}}{{BF}} = \frac{{BE}}{{BC}}\) nên \(BI \cdot BC = BF \cdot BE\quad (1)\)
Xét \(\Delta BIO\) và \(\Delta BAC\) có: \(\widehat {OBI}\) chung; \(\widehat {BIO} = \widehat {BAC} = 90^\circ \).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{BI}}{{BA}} = \frac{{BO}}{{BC}}\) nên \(BI \cdot BC = BO \cdot BA\).
Ta có \(BO \cdot BA = R \cdot 2R = 2{R^2}\) suy ra \(BI \cdot BC = 2{R^2}\quad (2)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(BF \cdot BE = 2{R^2}\).
c) Tính được \(\widehat {ABC} = 30^\circ \).
\({S_{qOAD}} = \frac{{\pi {R^2} \cdot 60^\circ }}{{360}} = \frac{{\pi {R^2}}}{6}\); \(BD = R\sqrt 3 \,;\,\,OI = \frac{R}{2}\).
\({S_{BOD}} = \frac{1}{2}BD.OI = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Do đó \({S_{qOAD}} + {S_{OBD}} = \frac{{{R^2}\left( {2\pi + 3\sqrt 3 } \right)}}{{12}}\) (đvdt).
Vậy diện tích tam giác \[ABC\] phần nằm trong đường tròn \[\left( O \right)\] là \(\frac{{{R^2}\left( {2\pi + 3\sqrt 3 } \right)}}{{12}}\) (đvdt).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
a) Gọi tuổi mẹ trước đây là \[x\] (tuổi) \[\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)\].
Khi đó, tuổi ba là \[x + 4\] (tuổi).
Theo đề bài, ta có phương trình: \(x + \left( {x + 4} \right) = 66\)
\(2x + 4 = 66\)
\(2x = 62\)
\(x = 31\)
Vậy trước đây mẹ Khoa 31 tuổi, ba Khoa 35 tuổi.
b) Gọi \[t\] là số năm từ “trước đây” đến nay \[\left( {t \in \mathbb{N}*} \right)\].
Số tuổi của hai anh em lúc trước: \(6 + 4 = 10\) (tuổi).
Số tuổi của hai anh em hiện nay: \(10 + 2t\) (tuổi).
Tổng số tuổi của ba và mẹ lúc trước là 66 tuổi
Suy ra tổng số tuổi của ba và mẹ hiện nay là: \(66 + 2t\) (tuổi).
Theo đề bài, ta có phương trình:
\(66 + 2t = 3\left( {10 + 2t} \right)\)
\(66 + 2t = 30 + 6t\)
\(36 = 4t\).
\(t = 9\).
Do đó, hiện nay mẹ Khoa \(31 + 9 = 40\) tuổi, ba Khoa \(35 + 9 = 44\) tuổi.
Vậy hiện nay mẹ Khoa 40 tuổi, ba Khoa 44 tuổi.
Lời giải
Hướng dẫn giải
a) Phương trình \(2{x^2} - 3x - 1 = 0\).
Ta có \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot \left( { - 1} \right) = 17 > 0\).
Vậy phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Áp dụng định lí Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = \frac{3}{2}\\{x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\].
Ta có \[x_1^2 + x_2^2 = \left( {x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2}} \right) - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{13}}{4}\].
Khi đó \(A = {x_1}\left( {x_2^3 - 2} \right) + {x_2}\left( {x_1^3 - 2} \right) - 2{x_1}{x_2}\)
\( = {x_1}x_2^3 - 2{x_1} + {x_2}x_1^3 - 2{x_2} - 2{x_1}{x_2}\)
\( = {x_1}{x_2}\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right)\)
\( = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{13}}{4} - 2 \cdot \frac{3}{2} + 1\)\( = - \frac{{29}}{8}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập