Để chuẩn bị cho lễ duyệt binh kỷ niệm Ngày Quốc khánh, một khối duyệt binh danh dự gồm \(10\) sĩ quan được thành lập bằng cách tuyển chọn ngẫu nhiên từ ba sư đoàn. Chọn \(4\) sĩ quan từ một danh sách gồm \(30\) sĩ quan cấp úy và \(10\) sĩ quan cấp tá từ sư đoàn I. Chọn \(3\) sĩ quan từ một danh sách gồm \(20\) sĩ quan cấp úy và \(20\) sĩ quan cấp tá từ sư đoàn II. Chọn \(3\) sĩ quan từ một danh sách gồm \(40\) sĩ quan cấp úy và \(10\) sĩ quan cấp tá từ sư đoàn III. Từ khối \(10\) sĩ quan này, ban chỉ huy chọn ra hai vị trí quan trọng: một khối trưởng (được chọn ngẫu nhiên từ các sĩ quan cấp tá có trong khối) và một sĩ quan cầm cờ (được chọn ngẫu nhiên từ các sĩ quan cấp úy có trong khối). Biết rằng hai sĩ quan được chọn vào hai vị trí này thuộc hai đơn vị khác nhau (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Gọi \(T\) là biến cố một sĩ quan được chọn từ mỗi sư đoàn là cấp tá và \(U\) là biến cố một sĩ quan được chọn từ mỗi sư đoàn là cấp úy
Sư đoàn I (chọn 4 người) nên \(P\left( {T|I} \right) = \frac{{10}}{{40}} = 0,25\) và \(\,P\left( {U|I} \right) = \frac{{30}}{{40}} = 0,75\)
Sư đoàn II (chọn 3 người) nên \(P\left( {T|II} \right) = \frac{{20}}{{40}} = 0,5\) và \(P\left( {U|I} \right) = \frac{{20}}{{40}} = 0,5\)
Sư đoàn III (chọn 3 người) nên \(P\left( {T|III} \right) = \frac{{10}}{{50}} = 0,2\) và \(P\left( {U|III} \right) = \frac{{40}}{{40}} = 0,8\)
Trong khối 10 người được chọn, ta tính trọng số xuất hiện của cấp tá và cấp úy:
Tổng xác suất chọn 1 cấp tá (Khối trưởng): \(P\left( T \right) = 4.0,25 + 3.0,5 + 3.0,2 = 3,1\)
Tổng xác suất chọn 1 cấp uý (Cầm cờ): \(P\left( U \right) = 4.0,75 + 3.0,5 + 3.0,8 = 6,9\)
Gọi các biến cố liên quan đến việc chọn 2 vị trí (khối trưởng và cầm cờ) như sau:
Nhóm biến cố về khối trưởng (Sĩ quan cấp tá)
Biến cố \({A_1}\) là biến cố khối trưởng thuộc sư đoàn I nên \(P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{4.0,25}}{{3,1}} = \frac{{10}}{{31}}\)
Biến cố \({A_2}\) là biến cố khối trưởng thuộc sư đoàn II nên \(P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{3.0,5}}{{3,1}} = \frac{{15}}{{31}}\)
Biến cố \({A_3}\)là biến cô khối trưởng thuộc sư đoàn III nên \(P\left( {{A_3}} \right) = \frac{{3.0,2}}{{3,1}} = \frac{6}{{31}}\)
Nhóm biến cố về sĩ quan cầm cờ (Sĩ quan cấp úy)
Biến cố \({B_1}\) là biến cố sĩ quan cầm cờ thuộc sư đoàn I nên \(P\left( {{B_1}} \right) = \frac{{4.0,75}}{{6,9}} = \frac{{10}}{{23}}\)
Biến cố \({B_2}\) là biến cố sĩ quan cầm cờ thuộc sư đoàn II nên \(P\left( {{B_2}} \right) = \frac{{3.0,5}}{{6,9}} = \frac{5}{{23}}\)
Biến cố \({B_3}\) là biến cố sĩ quan cầm cờ thuộc sư đoàn III nên \(P\left( {{B_3}} \right) = \frac{{3.0,8}}{{6,9}} = \frac{8}{{23}}\)
Biến cố điều kiện bổ trợ là biến cố \(C\) “Hai sĩ quan được chọn thuộc hai đơn vị khác nhau”
Tính xác suất biến cố \(C\). Trước hết ta tính \(P\left( {\overline C } \right)\)(hai sĩ quan cùng đơn vị)
\(P\left( {\overline C } \right) = P\left( {{A_1} \cap {B_1}} \right) + P\left( {{A_2} \cap {B_2}} \right) + P\left( {{A_3} \cap {B_3}} \right) = \frac{{10}}{{31}}.\frac{{10}}{{23}} + \frac{{15}}{{31}}.\frac{5}{{23}} + \frac{6}{{31}}.\frac{8}{{23}} = \frac{{223}}{{713}}\)
\( \Rightarrow P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = \frac{{490}}{{713}}\)
Xét mệnh đề a)
Xác suất để chọn một sĩ quan bất kỳ từ sư đoàn III là sỹ quan cấp tá: \(P\left( {T|III} \right) = \frac{{10}}{{50}} = 0,2\)nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Xác suất khối trưởng sư đoàn II \(\left( {{A_2}} \right)\) và cầm cờ Sư đoàn I \(\left( {{B_1}} \right)\) với điều kiện \(C\)là:
\(P\left( {{A_2} \cap {B_1}|C} \right) = \frac{{P\left( {{A_2}} \right).P\left( {{B_1}} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{\frac{{15}}{{31}}.\frac{{10}}{{23}}}}{{\frac{{490}}{{713}}}} = \frac{{150}}{{490}} \approx 0,3\) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Xác suất để sĩ quan cầm cờ thuộc sư đoàn III là:
\(P\left( {{B_3}|C} \right) = \frac{{P\left( {{B_3} \cap {A_1}} \right) + P\left( {{B_3} \cap {A_2}} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{\frac{8}{{23}}.\left( {\frac{{10}}{{31}} + \frac{{15}}{{31}}} \right)}}{{\frac{{490}}{{713}}}} = \frac{{200}}{{490}} \approx 0,4\) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Xác suất để khối trưởng là sĩ quan của sư đoàn I là:
\(P\left( {{A_1}|C} \right) = \frac{{P\left( {{A_1} \cap {B_2}} \right) + P\left( {{A_1} \cap {B_3}} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{\frac{{10}}{{31}}.\left( {\frac{5}{{23}} + \frac{8}{{23}}} \right)}}{{\frac{{490}}{{713}}}} = \frac{{130}}{{490}} \approx 0,3\) nên mệnh đề d) đúng