Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và một đường tròn \(\left( T \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} = 5\). Biết rằng đồ thị \(\left( C \right)\) nhận gốc tọa độ \(O\) làm tâm đối xứng và điểm \(M\left( {1;\, - 2} \right)\) là một điểm cực trị của \(\left( C \right)\)

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(O\) và cắt \(\left( C \right):y = \sqrt {196 - {x^2}} \) tại điểm đặc biệt \(M\)

Khi ấy \({k_d} = \tan 30^\circ  \Rightarrow d:y = \frac{x}{{\sqrt 3 }}\)với ta có phương trình hoành độ điểm \(M\) là: \({\left( {\frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} + {x^2} = 196\)

Suy ra tọa độ \(M\left( {7\sqrt 3 ;7} \right)\) gọi parabol đề cho có phương trình \(\left( P \right):y =  - a{x^2} + c,\left( {a < 0 < c} \right)\)

Do \(M\left( {7\sqrt 3 ;7} \right) \in \left( P \right)\) nên ta có phương trình: \[7 =  - 147a + c \Rightarrow \left( P \right):y =  - a{x^2} + 7 + 147a\left( 1 \right)\]

Gọi \(d'\) là pháp tuyến của \(d\) tại \(M\) thì dễ dàng có được \(d':y =  - x\sqrt 3  + 28\)

Khi đó với \(d'\) là tiếp tuyến của \(\left( P \right)\) tại tiếp điểm \(M\) ta có phương trình tiếp xúc như sau:

\[\left\{ \begin{array}{l} - a{x^2} + c =  - \sqrt 3 x + 28\\ - 2ax =  - \sqrt 3 \end{array} \right.\]. Suy ra:

Tiếp đến gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến của \(\left( P \right)\) tại tiếp điểm \(x = m\) sao cho \(\widehat {\left( {\Delta ;Oy} \right)} = 60^\circ \).

 Suy ra \(\Delta :y =  - \frac{m}{7}\left( {x - m} \right) - \frac{{{m^2}}}{{14}} + \frac{{35}}{2} \Rightarrow \left( \Delta  \right) \cap Oy = E\left( {0;\frac{{{m^2}}}{{14}} + \frac{{35}}{2}} \right)\)

Hệ số góc: \({k_\Delta } = \tan \left( {\overrightarrow {OE} ;\overrightarrow {O{x^ + }} } \right) = \tan 150^\circ \)

Suy ra: \[ - \frac{m}{7} = \tan 150^\circ  \Rightarrow m = \frac{7}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow OE = \frac{{56}}{3}\left( {cm} \right) \Rightarrow {S_{lucgiac}} = 6.\frac{{O{E^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{1568}}{{\sqrt 3 }}\](cm2)

Gọi \({S_0}\) là diện tích hình giới hạn bởi cong \(\left( P \right)\) và \(\left( C \right)\), vậy diện tích cần tìm là:

\[S = {S_{lucigac}} - \left( {3{S_0} + {S_{tron}}} \right) = \frac{{1568}}{{\sqrt 3 }} - \left( {3\int\limits_{ - 7\sqrt 3 }^{7\sqrt 3 } {\left( { - \frac{1}{{14}}{x^2} + \frac{{35}}{2}} \right) - \sqrt {196 - {x^2}} {\rm{d}}x}  + \pi {{14}^2}} \right) \approx 141\](cm²)