Trong không gian \(Oxyz,\) đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {1;3; - 2} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;5} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:

Xét mệnh đề a)
Điều kiện xác định: \[{x^3} - 3{x^2} + 4 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 2\\x > 2\end{array} \right.\]nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Ta có:\(f'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x}}{{\left( {{x^3} - 3{x^2} + 4} \right)\ln 5}}\) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Phương trình \(f'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x}}{{\left( {{x^3} - 3{x^2} + 4} \right)\ln 5}}0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)
Điều kiện xác định \(x \ne 2\) và \(x = 0\) không thuộc đoạn \(\left[ {1;\,2} \right]\) suy ra phương trình vô nghiệm nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có 1 điểm cực trị nên mệnh đề d) sai

Gọi \(N\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(AB\) sao cho \(BA = 3BN\)
Khi đó \(BN = DM\) và \(BN\,{\rm{//}}\,DM\) nên tứ giác \(BNDM\) là hình bình hành
Từ đó suy ra \(BM\,{\rm{//}}\,DN \Rightarrow BM\,{\rm{//}}\,\left( {SDN} \right)\).
Vậy \({\rm{d}}\left( {BM,SD} \right){\rm{ = d}}\left( {BM,\left( {SDN} \right)} \right) = {\rm{d}}\left( {B,\left( {SDN} \right)} \right)\).
Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(DN\) và \(SH\).
Ta có \(DN \bot AH\) và \(DN \bot SA\) nên \(DN \bot \left( {SAH} \right)\) từ đó suy ra \(DN \bot AK\).
Lại có \(AK \bot SH\) và \(AK \bot DN\) nên \(AK \bot \left( {SDN} \right)\) nên \[{\rm{d}}\left( {A,\left( {SDN} \right)} \right) = AK\].
Do \(AN = \frac{2}{3}AB = 2\) và tam giác \(ADN\) vuông tại \(A\) nên ta có:
\(AH = \frac{{AN.AD}}{{\sqrt {A{N^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2.1}}{{\sqrt {{{\left( 2 \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
Tam giác \(SAH\) vuông tại \(A\) nên \(AK = \frac{{AH.AS}}{{\sqrt {A{H^2} + A{S^2}} }} = \frac{{\frac{{2\sqrt 5 }}{5} \cdot 2}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{2\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2} + {{\left( 2 \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 6 }}{6}\).
Đường thẳng \(AB\) cắt mặt phẳng \(\left( {SDN} \right)\) tại \(N\) và \(\frac{{BN}}{{AN}} = \frac{1}{2}\) nên khi đó ta có:
\({\rm{d}}\left( {BM,SD} \right) = {\rm{d}}\left( {B,\left( {SDN} \right)} \right) = \frac{1}{2}{\rm{d}}\left( {A,\left( {SDN} \right)} \right) = \frac{1}{2}AK = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\).
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BM\) và \(SD\) bằng $\boxed{\mathrm{0,41}}$.