Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(\sqrt 3 a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = \sqrt 2 a\). Góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng:

Xét mệnh đề a)

Để kiểm tra vị trí tương đối, ta thay tọa độ \(A\) và \(B\)vào vế trái phương trình mặt phẳng\(\left( P \right)\):

\({L_A} = 2.40 + 2.\left( { - 40} \right) - 12 - 12 =  - 24\); \({L_B} = 2.\left( { - 40} \right) + 2.50 - 38 - 12 =  - 30\)

Vì\({L_A}.{L_B} = \left( { - 24} \right).\left( { - 30} \right) > 0\), nên \(A\) và \(B\)nằm cùng phía so với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Gọi \(H,K\)lần lượt là hình chiếu của \(A,B\)lên \(\left( P \right)\).

Ta có: \({h_A} = AH = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 24} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 8\)(m); \[{h_B} = BK = d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 30} \right|}}{3} = 10\](m).

Góc giữa đường thẳng \(MA\) và \(\left( P \right)\)là\(\widehat {AMH}\), góc giữa \(MB\) và \(\left( P \right)\) là \(\widehat {BMK}\).

Khi đó:\(\widehat {AMH} = \widehat {BMK} \Rightarrow \sin \widehat {AMH} = \sin \widehat {BMK} \Leftrightarrow \frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{BK}}{{BM}} \Leftrightarrow \frac{8}{{AM}} = \frac{{10}}{{BM}} \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{8}{{10}} = 0,8\)

Vì \(0,8\) là hằng số nên tỉ số khoảng cách không đổi nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Độ dài đoạn thẳng\(AB\):\(AB = \sqrt {{{\left( { - 40 - 40} \right)}^2} + {{\left( {50 + 40} \right)}^2} + {{\left( {38 - 12} \right)}^2}}  = \sqrt {15176} \)

Độ dài hình chiếu \(A'B'\)của \(AB\) lên \(\left( P \right)\)được tính theo công thức (khi \(A,B\)cùng phía):

\(A'B' = \sqrt {A{B^2} - {{\left( {{h_B} - {h_A}} \right)}^2}}  = \sqrt {15176 - {{\left( {10 - 8} \right)}^2}}  = \sqrt {15172}  \approx 123\)(m) nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Quỹ tích \(M\)là giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\)có phương trình:

\(\left( S \right):{\left( {x - \frac{{1640}}{9}} \right)^2} + {\left( {y + 200} \right)^2} + {\left( {z + \frac{{308}}{9}} \right)^2} = \frac{{6070400}}{{81}}\)

Bán kính mặt cầu \(R = \sqrt {\frac{{6070400}}{{81}}} \)(m).

Khoảng cách từ tâm mặt cầu \(I\left( {\frac{{1640}}{9}; - 200; - \frac{{308}}{9}} \right)\)đến mặt phẳng \(\left( P \right)\):

\(d\left( {I,P} \right) = \frac{{\left| {2.\left( {\frac{{1640}}{9}} \right) + 2.\left( { - 200} \right) - \left( { - \frac{{308}}{9}} \right) - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{112}}{{27}}\)(m)

Bán kính đường tròn quỹ tích là:

 $r=\sqrt{R^2-d^2\left(I,(\left(P\right)\right)}=\sqrt{{\left(\sqrt{\frac{6070400}{81}}\right)}^2-{\left(\frac{112}{27}\right)}^2}\approx \mathrm{273,72...}\stackrel{STO}{\to }A$  (m).

Chu vi đường ray :\(C = 2\pi r = 2.\pi .A \approx 1720\)(m) nên mệnh đề d) sai