Một căn nhà có thiết kế dạng một khối trụ với mặt cắt ngang là một phần của hình elip (như hình vẽ). Biết trục lớn của elip nằm ngang có độ dài \(7,6\)m; trục bé nằm thẳng đứng có độ dài \(4\)m. Mặt tiền của căn nhà (vị trí đặt cửa sổ kính) là một mặt phẳng vuông góc với trục lớn, cách tâm elip một khoảng \(3,4\) (chiều sâu của phần elip bị cắt bỏ đi). Chiều dài (sâu) của căn nhà là \(15\)m. Để lắp đặt hệ thống điều hòa cho căn nhà, kỹ sư tính toán cứ mỗi \(1\)m3 thể tích không gian cần công suất làm lạnh tối thiểu là \(20\)W. Hỏi hệ thống điều hòa cần trang bị cho căn nhà phải có tổng công suất tối thiểu bằng bao nhiêu W? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Xét mệnh đề a)

Để kiểm tra vị trí tương đối, ta thay tọa độ \(A\) và \(B\)vào vế trái phương trình mặt phẳng\(\left( P \right)\):

\({L_A} = 2.40 + 2.\left( { - 40} \right) - 12 - 12 =  - 24\); \({L_B} = 2.\left( { - 40} \right) + 2.50 - 38 - 12 =  - 30\)

Vì\({L_A}.{L_B} = \left( { - 24} \right).\left( { - 30} \right) > 0\), nên \(A\) và \(B\)nằm cùng phía so với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Gọi \(H,K\)lần lượt là hình chiếu của \(A,B\)lên \(\left( P \right)\).

Ta có: \({h_A} = AH = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 24} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 8\)(m); \[{h_B} = BK = d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 30} \right|}}{3} = 10\](m).

Góc giữa đường thẳng \(MA\) và \(\left( P \right)\)là\(\widehat {AMH}\), góc giữa \(MB\) và \(\left( P \right)\) là \(\widehat {BMK}\).

Khi đó:\(\widehat {AMH} = \widehat {BMK} \Rightarrow \sin \widehat {AMH} = \sin \widehat {BMK} \Leftrightarrow \frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{BK}}{{BM}} \Leftrightarrow \frac{8}{{AM}} = \frac{{10}}{{BM}} \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{8}{{10}} = 0,8\)

Vì \(0,8\) là hằng số nên tỉ số khoảng cách không đổi nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Độ dài đoạn thẳng\(AB\):\(AB = \sqrt {{{\left( { - 40 - 40} \right)}^2} + {{\left( {50 + 40} \right)}^2} + {{\left( {38 - 12} \right)}^2}}  = \sqrt {15176} \)

Độ dài hình chiếu \(A'B'\)của \(AB\) lên \(\left( P \right)\)được tính theo công thức (khi \(A,B\)cùng phía):

\(A'B' = \sqrt {A{B^2} - {{\left( {{h_B} - {h_A}} \right)}^2}}  = \sqrt {15176 - {{\left( {10 - 8} \right)}^2}}  = \sqrt {15172}  \approx 123\)(m) nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Quỹ tích \(M\)là giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\)có phương trình:

\(\left( S \right):{\left( {x - \frac{{1640}}{9}} \right)^2} + {\left( {y + 200} \right)^2} + {\left( {z + \frac{{308}}{9}} \right)^2} = \frac{{6070400}}{{81}}\)

Bán kính mặt cầu \(R = \sqrt {\frac{{6070400}}{{81}}} \)(m).

Khoảng cách từ tâm mặt cầu \(I\left( {\frac{{1640}}{9}; - 200; - \frac{{308}}{9}} \right)\)đến mặt phẳng \(\left( P \right)\):

\(d\left( {I,P} \right) = \frac{{\left| {2.\left( {\frac{{1640}}{9}} \right) + 2.\left( { - 200} \right) - \left( { - \frac{{308}}{9}} \right) - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{112}}{{27}}\)(m)

Bán kính đường tròn quỹ tích là:

 $r=\sqrt{R^2-d^2\left(I,(\left(P\right)\right)}=\sqrt{{\left(\sqrt{\frac{6070400}{81}}\right)}^2-{\left(\frac{112}{27}\right)}^2}\approx \mathrm{273,72...}\stackrel{STO}{\to }A$  (m).

Chu vi đường ray :\(C = 2\pi r = 2.\pi .A \approx 1720\)(m) nên mệnh đề d) sai