Cho tập hợp \(S = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\). Chọn ngẫu nhiên 6 số từ tập \(S\)và xếp vào 6 ô vuông hàng ngang như hình vẽ. Xác suất để các số được chọn thỏa mãn tích của 3 số ở 3 ô đầu bằng tích của 3 số ở 3 ô cuối là \(a\). Giá trị của \[\frac{1}{a}\]

Số phần tử không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = A_9^6 = 60480\)
Gọi 6 số được chọn là \({x_1};{x_2};{x_3};{x_4};{x_5};{x_6}\). Điều kiện bài toán là : \({x_1}.{x_2}.{x_3} = {x_4}.{x_5}.{x_6} = P\)
Ta thấy, tích của 6 số này là \(\left( {{x_1}.{x_2}.{x_3}} \right).\left( {{x_4}.{x_5}.{x_6}} \right) = {P^2}\) và đây là một số chính phương
Trong tập \(S\)các số \(5\) và \(7\) là các số nguyên tố chỉ xuất hiện một lần
Nếu chọn số \(5\) hoặc \(7\) vào bộ 6 số thì tích \({P^2}\)sẽ chứa thừa số \({5^1}\) hoặc \({7^1}\)(không thể là số chính phương)
Do đó bộ 6 số được chọn không thể chứa số \(5\) và \(7\)
Vậy 6 số này được chọn từ tập \(S' = \left\{ {1;2;3;4;6;8;9} \right\}\)
Ta cần tìm 2 nhóm 3 số từ tập \(S'\)có tích bằng nhau và chú ý đến số 9 (số lớn nhất, bằng \(3.3\))
Giả sử nhóm 1 chứa số 9 và tích của nhóm 1 sẽ chia hết cho 9
Để nhóm 2 cũng chia hết cho 9 thì nhóm 2 bắt buộc phải chứa các số có ước là 3.
Trong tập S^', chỉ có số 3 và 6 là chia hết cho 3 nên nhóm 2 chắc chắn phải chứa cả 3 và 6
Ta gọi các số còn lại của hai nhóm là \(a;b;c \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\,1:\left\{ {9;a;b} \right\}}\\{2:\left\{ {3;6;c} \right\}}\end{array}} \right.\)
Vì tích hai nhóm bằng nhau nên: \(9.a.b = 3.6.c \Leftrightarrow a.b = 2.c\)
Các số còn lại chưa được dùng để chọn cho \(a;b;c\)là \(\left\{ {1;2;4;8} \right\}\)
Bây giờ ta thử lần lượt các giá trị của c từ tập này:
Nếu \(c = 2\) thì \(a.b = 2.2 = 4\) và trong các số còn lại chỉ có \(1.4 = 4\) nên \(a = 1,\,b = 4\)
Ta được bộ thứ nhất: \(\left\{ {1;4;9} \right\}\) và \(\left\{ {2;3;6} \right\}\) (Kiểm tra: \(1.4.9 = 36\) và \(2.3.6 = 36\) - Thỏa mãn)
Nếu \(c = 4\) thì \(a.b = 2.4 = 8\) và trong các số còn lại chỉ có \(1.8 = 8\) nên \(a = 1,\,b = 8\)
Ta được bộ thứ hai:\(\left\{ {1;8;9} \right\}\)và \(\left\{ {3;4;6} \right\}\) (Kiểm tra: \(1.8.9 = 72\) và \(3.4.6 = 72\) - Thỏa mãn)
Nếu \(c = 8\) thì \(a.b = 2.8 = 16\) và trong các số còn lại \(\left\{ {1;2;4} \right\}\) không có 2 số nào nhân nhau bằng 16 (loại) (Không xét \(c = 1\) vì \(a.b = 2.1 = 2\), bị trùng số \(1\))
Vậy ta chỉ có đúng 2 bộ số thỏa mãn yêu cầu
Với mỗi bộ số (ví dụ bộ \(\left\{ {1;4;9} \right\}\) và \(\left\{ {2;3;6} \right\}\)). Chọn nhóm nào nằm ở 3 ô đầu, nhóm nào ở 3 ô cuối: 2 cách
Hoán vị 3 số trong 3 ô đầu: \(3! = 6\)cách
Hoán vị 3 số trong 3 ô cuối\(3! = 6\)cách
Số cách xếp cho 1 bộ là: \(2.6.6 = 72\)cách
Vì có 2 bộ số nên tổng số cách xếp thỏa mãn là: \(n\left( A \right) = 72.2 = 144\) cách
Xác suất là $a=\frac{144}{60480}\Rightarrow \frac{1}{a}=\frac{60480}{144}=\boxed{420}$