Tại một cảng biển, hoạt động của một cần cẩu tháp được mô hình hóa trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên các trục là chục mét). Cần cẩu có trụ đứng trùng với trục \(Oz\) và tay cần nằm trong mặt phẳng nằm ngang \(\left( P \right):z = 4\). Trong quá trình vận hành, tay cần cẩu có thể quay tự do quanh trục \(Oz\) sao cho đầu tay cần (điểm\(A\)) luôn cách trục \(Oz\) một khoảng bằng \(3\). Một sợi dây cáp tải hàng được nối từ điểm \(A\) đến móc cẩu \(M\). Biết rằng điểm \(M\)di chuyển trên một thanh ray thẳng nằm trên mặt đất (mặt phẳng\(Oxy\)) có phương trình tham số là đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10 + 4t}\\{y = - 3t}\\{z = 0}\end{array}} \right.(t \in \mathbb{R})\). Để đảm bảo an toàn kỹ thuật và tránh đứt cáp do lực căng ngang, góc tạo bởi sợi dây cáp \(AM\) và phương thẳng đứng được quy định không vượt quá \(60^\circ \). Trong điều kiện vận hành an toàn đó, gọi \({M_{\max }}\) và \({m_{\min }}\) lần lượt là chiều dài lớn nhất và chiều dài nhỏ nhất của sợi dây cáp \(AM\). Tính giá trị của \({M_{\max }} + {m_{\min }}\)theo đơn vị mét

Thiết lập hệ trục tọa độ \(Oxyz\)như sau:
Trục\(Oz\): Trùng với trụ của cần cẩu, có phương thẳng đứng có vectơ chỉ phương là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\)
Điểm \(A\) (đầu tay cần) nằm trên mặt phẳng nằm ngang \(\left( P \right):z = 4\) và luôn cách trục \(Oz\) một khoảng bằng \(3\) nên \(A\) di chuyển trên đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;0;4} \right)\) và bán kính \(R = 3\)
Điểm \(M\)(móc cẩu) di chuyển trên đường thẳng \(d\) nằm trên mặt đất (mặt phẳng\(Oxy\))
Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10 + 4t}\\{y = - 3t}\\{z = 0}\end{array}} \right.\) nên \[M\left( {10 + 4t; - 3t;0} \right)\]
Vectơ sợi cáp:\(\overrightarrow {AM} = \left( {{x_M} - {x_A};{y_M} - {y_A};{z_M} - {z_A}} \right) = \left( {{x_M} - {x_A};{y_M} - {y_A}; - 4} \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa sợi cáp \(AM\)và phương thẳng đứng (trục\(Oz\)).
Công thức tính góc: \(\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {AM} .\vec k} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\vec k} \right|}} = \frac{{\left| { - 4} \right|}}{{AM.1}} = \frac{4}{{AM}}\)
Theo quy định an toàn thì \(\alpha \le 60^\circ \) và do hàm cosin nghịch biến trên \(\left[ {0^\circ ;90^\circ } \right]\) nên:
\(\cos \alpha \ge \cos 60^\circ \Leftrightarrow \frac{4}{{AM}} \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow AM \le 8\)
Đơn vị trên trục là chục mét suy ra chiều dài tối đa là:\({M_{\max }} = 8.10 = 80\)(mét)
Gọi \(A'\) là hình chiếu của \(A\) lên mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\)\(d\)
Khi đó \(A'\) di chuyển trên đường tròn \(\left( {C'} \right)\) tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) có bán kính \(R = 3\)
Xét tam giác \(AA'M\)vuông tại \(A'\)\(\left( {AA' \bot \left( {Oxy} \right)} \right)\) có: \[AM = \sqrt {A{{A'}^2} + A'{M^2}} = \sqrt {16 + A'{M^2}} \]
Để \(AM\)nhỏ nhất thì đoạn \(A'M\) (khoảng cách giữa một điểm trên đường tròn \(\left( {C'} \right)\) và một điểm trên đường thẳng ) phải nhỏ nhất.
Khử \(t\) từ hệ\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10 + 4t}\\{y = - 3t}\end{array}} \right.\), ta được phương trình tổng quát của \(d:3x + 4y - 30 = 0\).
Khoảng cách từ tâm \(O\) đến đường thẳng\(d\) là:\[d\left( {O,d} \right) = \frac{{\left| {3.0 + 4.0 - 30} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 6\]
Vì\(d\left( {O,d} \right) = 6 > R = 3\) nên đường thẳng \(d\) nằm ngoài đường tròn\(\left( {C'} \right)\)
Khoảng cách ngắn nhất giữa \(A'\) và \(M\)là: \(A'{M_{\min }} = d\left( {O,d} \right) - R = 6 - 3 = 3\)
Thay vào công thức tính\(AM\) thì \(A{M_{\min }} = \sqrt {16 + {3^2}} = \sqrt {25} = 5\)
Chiều dài dây cáp tối thiểu (tính theo đơn vị mét) là \({m_{min}} = 5.10 = 50\)(mét)
Giá trị của \({M_{\max }} + {m_{\min }}\)là: $80+50=\boxed{130}$ (mét)