Trong không gian \(Oxyz\) với đơn vị trên mỗi hệ trục là mét, một vườn hoa nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z - 12 = 0\). Có 2 bóng đèn chiếu sáng cố định được đặt tại điểm \(A\left( {40; - 40;12} \right)\) và \(B\left( { - 40;50;38} \right)\). Để đảm bảo kĩ thuật chiếu sáng, các kỹ sư muốn thiết kế trên mặt vườn một đường ray để lắp đặt một đèn chiếu sáng \(M\) di động trên đường ray ấy. Yêu cầu kĩ thuật đặt ra là góc tạo bởi \(MA\) với mặt vườn và góc tạo bởi \(MB\) với mặt vườn phải luôn bằng nhau

Gọi \({u_n}\) là nồng độ chất độc trong hồ sau \(n\) ngày (đơn vị: mg/m3)
Theo giả thiết, ta có nồng độ ban đầu:\({u_0} = 1000\)
Mỗi ngày, hệ thống lọc làm giảm \(20\% \) (còn lại \(80\% \)hay \(0,8\)) và nguồn thải tự nhiên tăng thêm 10 mg/m3 nên suy ra \({u_n} = 0,8{u_{n + 1}} + 10\,\left( {\forall \,n \ge 1} \right)\)
Ta biến đổi hệ thức truy hồi trên như sau: \({u_n} - 50 = 0,8.\left( {{u_{n - 1}} - 50} \right)\)
Đặt\({v_n} = {u_n} - 50\), ta được một cấp số nhân:\({v_n} = 0,8.{v_{n - 1}}\)
Với số hạng đầu\({v_0} = {u_0} - 50 = 950\) nên công thức số hạng tổng quát của \({v_n}\) là\({v_n} = 950.{\left( {0,8} \right)^n}\)
Từ đó suy ra công thức tổng quát của nồng độ \({u_n}\) là: \({u_n} = 950.{\left( {0,8} \right)^n} + 50\)
Để hồ đạt mức an toàn, nồng độ chất độc phải dưới 100 mg/m3:
\({u_n} < 100 \Leftrightarrow 950.{\left( {0,8} \right)^n} + 50 < 100 \Leftrightarrow {\left( {0,8} \right)^n} < \frac{1}{{19}} \Rightarrow n > {\log _{0,8}}\left( {\frac{1}{{19}}} \right)\)
Vì \(n\) là số ngày (số nguyên dương), nên giá trị nhỏ nhất thỏa mãn là $\boxed{n=14}$

Thiết lập hệ trục tọa độ \(Oxyz\)như sau:
Trục\(Oz\): Trùng với trụ của cần cẩu, có phương thẳng đứng có vectơ chỉ phương là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\)
Điểm \(A\) (đầu tay cần) nằm trên mặt phẳng nằm ngang \(\left( P \right):z = 4\) và luôn cách trục \(Oz\) một khoảng bằng \(3\) nên \(A\) di chuyển trên đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;0;4} \right)\) và bán kính \(R = 3\)
Điểm \(M\)(móc cẩu) di chuyển trên đường thẳng \(d\) nằm trên mặt đất (mặt phẳng\(Oxy\))
Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10 + 4t}\\{y = - 3t}\\{z = 0}\end{array}} \right.\) nên \[M\left( {10 + 4t; - 3t;0} \right)\]
Vectơ sợi cáp:\(\overrightarrow {AM} = \left( {{x_M} - {x_A};{y_M} - {y_A};{z_M} - {z_A}} \right) = \left( {{x_M} - {x_A};{y_M} - {y_A}; - 4} \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa sợi cáp \(AM\)và phương thẳng đứng (trục\(Oz\)).
Công thức tính góc: \(\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {AM} .\vec k} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\vec k} \right|}} = \frac{{\left| { - 4} \right|}}{{AM.1}} = \frac{4}{{AM}}\)
Theo quy định an toàn thì \(\alpha \le 60^\circ \) và do hàm cosin nghịch biến trên \(\left[ {0^\circ ;90^\circ } \right]\) nên:
\(\cos \alpha \ge \cos 60^\circ \Leftrightarrow \frac{4}{{AM}} \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow AM \le 8\)
Đơn vị trên trục là chục mét suy ra chiều dài tối đa là:\({M_{\max }} = 8.10 = 80\)(mét)
Gọi \(A'\) là hình chiếu của \(A\) lên mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\)\(d\)
Khi đó \(A'\) di chuyển trên đường tròn \(\left( {C'} \right)\) tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) có bán kính \(R = 3\)
Xét tam giác \(AA'M\)vuông tại \(A'\)\(\left( {AA' \bot \left( {Oxy} \right)} \right)\) có: \[AM = \sqrt {A{{A'}^2} + A'{M^2}} = \sqrt {16 + A'{M^2}} \]
Để \(AM\)nhỏ nhất thì đoạn \(A'M\) (khoảng cách giữa một điểm trên đường tròn \(\left( {C'} \right)\) và một điểm trên đường thẳng ) phải nhỏ nhất.
Khử \(t\) từ hệ\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10 + 4t}\\{y = - 3t}\end{array}} \right.\), ta được phương trình tổng quát của \(d:3x + 4y - 30 = 0\).
Khoảng cách từ tâm \(O\) đến đường thẳng\(d\) là:\[d\left( {O,d} \right) = \frac{{\left| {3.0 + 4.0 - 30} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 6\]
Vì\(d\left( {O,d} \right) = 6 > R = 3\) nên đường thẳng \(d\) nằm ngoài đường tròn\(\left( {C'} \right)\)
Khoảng cách ngắn nhất giữa \(A'\) và \(M\)là: \(A'{M_{\min }} = d\left( {O,d} \right) - R = 6 - 3 = 3\)
Thay vào công thức tính\(AM\) thì \(A{M_{\min }} = \sqrt {16 + {3^2}} = \sqrt {25} = 5\)
Chiều dài dây cáp tối thiểu (tính theo đơn vị mét) là \({m_{min}} = 5.10 = 50\)(mét)
Giá trị của \({M_{\max }} + {m_{\min }}\)là: $80+50=\boxed{130}$ (mét)