Trong không gian \(Oxyz\) với đơn vị trên mỗi hệ trục là mét, một vườn hoa nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z - 12 = 0\). Có 2 bóng đèn chiếu sáng cố định được đặt tại điểm \(A\left( {40; - 40;12} \right)\) và \(B\left( { - 40;50;38} \right)\). Để đảm bảo kĩ thuật chiếu sáng, các kỹ sư muốn thiết kế trên mặt vườn một đường ray để lắp đặt một đèn chiếu sáng \(M\) di động trên đường ray ấy. Yêu cầu kĩ thuật đặt ra là góc tạo bởi \(MA\) với mặt vườn và góc tạo bởi \(MB\) với mặt vườn phải luôn bằng nhau

Xét mệnh đề a)

Để kiểm tra vị trí tương đối, ta thay tọa độ \(A\) và \(B\)vào vế trái phương trình mặt phẳng\(\left( P \right)\):

\({L_A} = 2.40 + 2.\left( { - 40} \right) - 12 - 12 =  - 24\); \({L_B} = 2.\left( { - 40} \right) + 2.50 - 38 - 12 =  - 30\)

Vì\({L_A}.{L_B} = \left( { - 24} \right).\left( { - 30} \right) > 0\), nên \(A\) và \(B\)nằm cùng phía so với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Gọi \(H,K\)lần lượt là hình chiếu của \(A,B\)lên \(\left( P \right)\).

Ta có: \({h_A} = AH = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 24} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 8\)(m); \[{h_B} = BK = d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 30} \right|}}{3} = 10\](m).

Góc giữa đường thẳng \(MA\) và \(\left( P \right)\)là\(\widehat {AMH}\), góc giữa \(MB\) và \(\left( P \right)\) là \(\widehat {BMK}\).

Khi đó:\(\widehat {AMH} = \widehat {BMK} \Rightarrow \sin \widehat {AMH} = \sin \widehat {BMK} \Leftrightarrow \frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{BK}}{{BM}} \Leftrightarrow \frac{8}{{AM}} = \frac{{10}}{{BM}} \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{8}{{10}} = 0,8\)

Vì \(0,8\) là hằng số nên tỉ số khoảng cách không đổi nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Độ dài đoạn thẳng\(AB\):\(AB = \sqrt {{{\left( { - 40 - 40} \right)}^2} + {{\left( {50 + 40} \right)}^2} + {{\left( {38 - 12} \right)}^2}}  = \sqrt {15176} \)

Độ dài hình chiếu \(A'B'\)của \(AB\) lên \(\left( P \right)\)được tính theo công thức (khi \(A,B\)cùng phía):

\(A'B' = \sqrt {A{B^2} - {{\left( {{h_B} - {h_A}} \right)}^2}}  = \sqrt {15176 - {{\left( {10 - 8} \right)}^2}}  = \sqrt {15172}  \approx 123\)(m) nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Quỹ tích \(M\)là giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\)có phương trình:

\(\left( S \right):{\left( {x - \frac{{1640}}{9}} \right)^2} + {\left( {y + 200} \right)^2} + {\left( {z + \frac{{308}}{9}} \right)^2} = \frac{{6070400}}{{81}}\)

Bán kính mặt cầu \(R = \sqrt {\frac{{6070400}}{{81}}} \)(m).

Khoảng cách từ tâm mặt cầu \(I\left( {\frac{{1640}}{9}; - 200; - \frac{{308}}{9}} \right)\)đến mặt phẳng \(\left( P \right)\):

\(d\left( {I,P} \right) = \frac{{\left| {2.\left( {\frac{{1640}}{9}} \right) + 2.\left( { - 200} \right) - \left( { - \frac{{308}}{9}} \right) - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{112}}{{27}}\)(m)

Bán kính đường tròn quỹ tích là:

 $r=\sqrt{R^2-d^2\left(I,(\left(P\right)\right)}=\sqrt{{\left(\sqrt{\frac{6070400}{81}}\right)}^2-{\left(\frac{112}{27}\right)}^2}\approx \mathrm{273,72...}\stackrel{STO}{\to }A$  (m).

Chu vi đường ray :\(C = 2\pi r = 2.\pi .A \approx 1720\)(m) nên mệnh đề d) sai