Một chất điểm chuyển động trong 3 giây với vận tốc \(v\left( t \right) = m\cos \left( {\pi t} \right) + n\) (đơn vị: m/s) trong đó \(t\)(giây) là biến thời gian và \(m,\,n\) là các hằng số có đồ thị như hình sin vẽ dưới đây:

Hàm số có dạng: \(v\left( t \right) = m\cos \left( {\pi t} \right) + n\)

Dựa vào đồ thị, ta có các điểm đặc biệt:

Tại \(t = 0\) thì \(v\left( 0 \right) = 10 \Rightarrow m\cos \left( 0 \right) + n = 10 \Rightarrow m + n = 10\)

Tại \(t = 1\) thì \(v\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow m\cos \left( \pi  \right) + n = 0 \Rightarrow  - m + n = 0\)

Giải hệ phương trình:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + n = 10}\\{ - m + n = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 5}\\{n = 5}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình vận tốc là: \(v\left( t \right) = 5\cos \left( {\pi t} \right) + 5\)(m/s)

Xét mệnh đề a)

Chất điểm đổi chiều khi vận tốc \(v\left( t \right)\)đổi dấu (đi xuyên qua trục hoành).

Ta có \(v\left( t \right) = 5\left( {\cos \left( {\pi t} \right) + 1} \right)\) mà \(\cos \left( {\pi t} \right) \ge  - 1\) nên \(v\left( t \right) \ge 0\) với mọi \(t\).

Vận tốc bằng \(0\) tại \(t = 1\)và \(t = 3\), nhưng không đổi dấu (luôn dương hoặc bằng \(0\)).

Do đó chất điểm dừng lại rồi tiếp tục đi tiếp chứ không đổi chiều nên mệnh đề a) sai

Xét mệnh đề b)

Gia tốc là đạo hàm của vận tốc:\(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = {\left[ {5\cos \left( {\pi t} \right) + 5} \right]^\prime } =  - 5\pi \sin \left( {\pi t} \right)\)

Giá trị lớn nhất của \(a\left( t \right)\)là: \(\left| { - 5\pi } \right| = 5\pi \)(khi\(\sin \left( {\pi t} \right) =  - 1\)).

Tại\(t = 1,5\):\(a\left( {1,5} \right) =  - 5\pi \sin \left( {1,5\pi } \right) =  - 5\pi .\left( { - 1} \right) = 5\pi \) nnên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Quãng đường trong giây đầu tiên \(\left( {t \in \left[ {0;1} \right]} \right)\) là:\({S_1} = \int\limits_0^1 {\left( {5\cos \left( {\pi t} \right) + 5} \right)dt}  = 5\)(m)

Quãng đường trong giây thứ hai \[\left( {t \in \left[ {1;2} \right]} \right)\] là:\({S_2} = \int\limits_1^2 {\left( {5\cos \left( {\pi t} \right) + 5} \right)dt}  = 5\)(m)

Vì \({S_1} = {S_2}\) nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d)

Vận tốc trung bình: \[{v_{tb}} = \frac{1}{3}\int\limits_0^3 {v\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = \frac{1}{3}\int\limits_0^3 {\left( {5\cos \left( {\pi t} \right) + 5} \right)} \,{\rm{d}}t = 5\](m/s) nên mệnh đề d) đúng