Một hồ nước có nồng độ chất độc đo được là \(1000\)mg/m³. Người ta lắp hệ thống lọc tự động làm giảm \(20\% \) nồng độ mỗi ngày, đồng thời do nguồn thải tự nhiên nồng độ lại tăng thêm \(10\)mg/m³mỗi ngày. Biết mức an toàn cho sinh vật là nồng độ phải dưới \(100\)mg/m³. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì hồ đạt mức an toàn?

Xét mệnh đề a)

Để kiểm tra vị trí tương đối, ta thay tọa độ \(A\) và \(B\)vào vế trái phương trình mặt phẳng\(\left( P \right)\):

\({L_A} = 2.40 + 2.\left( { - 40} \right) - 12 - 12 =  - 24\); \({L_B} = 2.\left( { - 40} \right) + 2.50 - 38 - 12 =  - 30\)

Vì\({L_A}.{L_B} = \left( { - 24} \right).\left( { - 30} \right) > 0\), nên \(A\) và \(B\)nằm cùng phía so với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Gọi \(H,K\)lần lượt là hình chiếu của \(A,B\)lên \(\left( P \right)\).

Ta có: \({h_A} = AH = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 24} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 8\)(m); \[{h_B} = BK = d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 30} \right|}}{3} = 10\](m).

Góc giữa đường thẳng \(MA\) và \(\left( P \right)\)là\(\widehat {AMH}\), góc giữa \(MB\) và \(\left( P \right)\) là \(\widehat {BMK}\).

Khi đó:\(\widehat {AMH} = \widehat {BMK} \Rightarrow \sin \widehat {AMH} = \sin \widehat {BMK} \Leftrightarrow \frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{BK}}{{BM}} \Leftrightarrow \frac{8}{{AM}} = \frac{{10}}{{BM}} \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{8}{{10}} = 0,8\)

Vì \(0,8\) là hằng số nên tỉ số khoảng cách không đổi nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Độ dài đoạn thẳng\(AB\):\(AB = \sqrt {{{\left( { - 40 - 40} \right)}^2} + {{\left( {50 + 40} \right)}^2} + {{\left( {38 - 12} \right)}^2}}  = \sqrt {15176} \)

Độ dài hình chiếu \(A'B'\)của \(AB\) lên \(\left( P \right)\)được tính theo công thức (khi \(A,B\)cùng phía):

\(A'B' = \sqrt {A{B^2} - {{\left( {{h_B} - {h_A}} \right)}^2}}  = \sqrt {15176 - {{\left( {10 - 8} \right)}^2}}  = \sqrt {15172}  \approx 123\)(m) nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Quỹ tích \(M\)là giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\)có phương trình:

\(\left( S \right):{\left( {x - \frac{{1640}}{9}} \right)^2} + {\left( {y + 200} \right)^2} + {\left( {z + \frac{{308}}{9}} \right)^2} = \frac{{6070400}}{{81}}\)

Bán kính mặt cầu \(R = \sqrt {\frac{{6070400}}{{81}}} \)(m).

Khoảng cách từ tâm mặt cầu \(I\left( {\frac{{1640}}{9}; - 200; - \frac{{308}}{9}} \right)\)đến mặt phẳng \(\left( P \right)\):

\(d\left( {I,P} \right) = \frac{{\left| {2.\left( {\frac{{1640}}{9}} \right) + 2.\left( { - 200} \right) - \left( { - \frac{{308}}{9}} \right) - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{112}}{{27}}\)(m)

Bán kính đường tròn quỹ tích là:

 $r=\sqrt{R^2-d^2\left(I,(\left(P\right)\right)}=\sqrt{{\left(\sqrt{\frac{6070400}{81}}\right)}^2-{\left(\frac{112}{27}\right)}^2}\approx \mathrm{273,72...}\stackrel{STO}{\to }A$  (m).

Chu vi đường ray :\(C = 2\pi r = 2.\pi .A \approx 1720\)(m) nên mệnh đề d) sai

Thiết lập hệ trục tọa độ \(Oxyz\)như sau:
Trục\(Oz\): Trùng với trụ của cần cẩu, có phương thẳng đứng có vectơ chỉ phương là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\)
Điểm \(A\) (đầu tay cần) nằm trên mặt phẳng nằm ngang \(\left( P \right):z = 4\) và luôn cách trục \(Oz\) một khoảng bằng \(3\) nên \(A\) di chuyển trên đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;0;4} \right)\) và bán kính \(R = 3\)
Điểm \(M\)(móc cẩu) di chuyển trên đường thẳng \(d\) nằm trên mặt đất (mặt phẳng\(Oxy\))
Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10 + 4t}\\{y = - 3t}\\{z = 0}\end{array}} \right.\) nên \[M\left( {10 + 4t; - 3t;0} \right)\]
Vectơ sợi cáp:\(\overrightarrow {AM} = \left( {{x_M} - {x_A};{y_M} - {y_A};{z_M} - {z_A}} \right) = \left( {{x_M} - {x_A};{y_M} - {y_A}; - 4} \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa sợi cáp \(AM\)và phương thẳng đứng (trục\(Oz\)).
Công thức tính góc: \(\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {AM} .\vec k} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\vec k} \right|}} = \frac{{\left| { - 4} \right|}}{{AM.1}} = \frac{4}{{AM}}\)
Theo quy định an toàn thì \(\alpha \le 60^\circ \) và do hàm cosin nghịch biến trên \(\left[ {0^\circ ;90^\circ } \right]\) nên:
\(\cos \alpha \ge \cos 60^\circ \Leftrightarrow \frac{4}{{AM}} \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow AM \le 8\)
Đơn vị trên trục là chục mét suy ra chiều dài tối đa là:\({M_{\max }} = 8.10 = 80\)(mét)
Gọi \(A'\) là hình chiếu của \(A\) lên mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\)\(d\)
Khi đó \(A'\) di chuyển trên đường tròn \(\left( {C'} \right)\) tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) có bán kính \(R = 3\)
Xét tam giác \(AA'M\)vuông tại \(A'\)\(\left( {AA' \bot \left( {Oxy} \right)} \right)\) có: \[AM = \sqrt {A{{A'}^2} + A'{M^2}} = \sqrt {16 + A'{M^2}} \]
Để \(AM\)nhỏ nhất thì đoạn \(A'M\) (khoảng cách giữa một điểm trên đường tròn \(\left( {C'} \right)\) và một điểm trên đường thẳng ) phải nhỏ nhất.
Khử \(t\) từ hệ\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10 + 4t}\\{y = - 3t}\end{array}} \right.\), ta được phương trình tổng quát của \(d:3x + 4y - 30 = 0\).
Khoảng cách từ tâm \(O\) đến đường thẳng\(d\) là:\[d\left( {O,d} \right) = \frac{{\left| {3.0 + 4.0 - 30} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 6\]
Vì\(d\left( {O,d} \right) = 6 > R = 3\) nên đường thẳng \(d\) nằm ngoài đường tròn\(\left( {C'} \right)\)
Khoảng cách ngắn nhất giữa \(A'\) và \(M\)là: \(A'{M_{\min }} = d\left( {O,d} \right) - R = 6 - 3 = 3\)
Thay vào công thức tính\(AM\) thì \(A{M_{\min }} = \sqrt {16 + {3^2}} = \sqrt {25} = 5\)
Chiều dài dây cáp tối thiểu (tính theo đơn vị mét) là \({m_{min}} = 5.10 = 50\)(mét)
Giá trị của \({M_{\max }} + {m_{\min }}\)là: $80+50=\boxed{130}$ (mét)