Một nhà máy sản xuất hóa chất có hàm doanh thu từ việc bán \(x\) tấn hóa chất là \(R\left( x \right) = 200x - {x^2}\)(triệu đồng) và hàm chi phí sản xuất là \(C\left( x \right) = 80x + 1000\)(triệu đồng). Để hạn chế ô nhiễm, nhà nước áp dụng chính sách thuế môi trường như sau: Nếu sản lượng sản xuất không vượt quá \(40\) tấn thì không phải đóng thuế môi trường; nếu sản lượng vượt quá \(40\) tấn, nhà máy phải đóng \(10\) triệu đồng cho mỗi tấn hóa chất vượt mức. Cuối cùng, nhà máy phải đóng thêm \(20\% \) thuế thu nhập doanh nghiệp trên tổng lợi nhuận thu được (sau khi đã trừ chi phí và thuế môi trường). Hỏi nhà máy cần sản xuất bao nhiêu tấn hóa chất để lợi nhuận thực tế (sau khi trừ tất cả các loại thuế) đạt giá trị lớn nhất

Gọi \(x\)là sản lượng hóa chất sản xuất(\[x > 0\], đơn vị: tấn)

Lợi nhuận thực tế \(P\left( x \right)\)được tính theo công thức:\(P\left( x \right) = [R\left( x \right) - C\left( x \right) - {T_{mt}}\left( x \right)].\left( {1 - 20\% } \right)\)

Ta xét hai trường hợp của sản lượng\(x\):

Trường hợp 1:\(0 < x \le 40\) (không đóng thuế môi trường)

Khi đó\({T_{mt}}\left( x \right) = 0\). Hàm lợi nhuận trước thuế thu nhập là:

\({f_1}\left( x \right) = \left( {200x - {x^2}} \right) - \left( {80x + 1000} \right) =  - {x^2} + 120x - 1000\)

Đây là hàm số parabol bề lõm hướng xuống nên đạt giá trị cực đại tại \(x =  - \frac{{120}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 60 > 40\left( l \right)\)

Trên khoảng\(\left( {0;40} \right]\), hàm số \({f_1}\left( x \right)\)đồng biến. Do đó, giá trị lớn nhất đạt được tại\(x = 40\):

\({f_1}\left( {40} \right) =  - {\left( {40} \right)^2} + 120.40 - 1000 = 2200\)(triệu đồng)

Trường hợp 2: \(x > 40\)(phải đóng thuế môi trường)

Thuế môi trường là \(10\left( {x - 40} \right)\) triệu đồng thì hàm lợi nhuận trước thuế thu nhập là:

\({f_2}\left( x \right) = \left( {200x - {x^2}} \right) - \left( {80x + 1000} \right) - 10\left( {x - 40} \right) =  - {x^2} + 110x - 600\)

Đây là hàm số parabol bề lõm hướng xuống nên đạt giá trị cực đại tại \(x =  - \frac{{110}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 55 > 40\left( n \right)\)

\({f_2}\left( {55} \right) =  - {\left( {55} \right)^2} + 110.55 - 600 = 2425\)(triệu đồng)

Vì\(2425 > 2200\), nên lợi nhuận thực tế sẽ đạt giá trị lớn nhất khi nhà máy sản xuất  tấn hóa chất.