Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 21

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;\,3; - 1} \right)\), đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) nên đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \overrightarrow n  = \left( {1;\,3; - 1} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 3 + 3t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).

Ta có: \[y = \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{\left( {x - 2} \right).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}}\] \[ = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\]

Do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = 2\] nên tiệm cận ngang của đồ thi hàm số là đường thẳng \[y = 2\]. Do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} =  - \infty \] và

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} =  - \infty \] nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng \[x =  - 2\]. Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận.

Ta có \(\left( P \right):\,\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\)\( \Leftrightarrow 3x + 2y - 3z - 6 = 0\).

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\) có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n  = \left( {3;2; - 3} \right)\].

Đường thẳng \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) suy ra hình chiếu của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AC\).

Do đó \[\widehat {\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC,AC\,} \right)} = \widehat {SCA}\]

Xét tam giác vuông \[SAC\] có \[\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}}\] \[ = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 6 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\] \[ \Rightarrow \widehat {SCA} = 30^\circ \].