Câu hỏi:

19/05/2026 195

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 2}}$

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - x + 1} \right] = 0$

Đúng

Sai

b) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số nằm trên trục tung

Đúng

Sai

c) Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;\,2} \right)$

Đúng

Sai

d) Trên đồ thị hàm số có đúng $4$ điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên

Đúng

Sai

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 21 !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có thể thực hiện phép chia đa thức để viết lại hàm số dưới dạng:$f\left( x \right) = x - 1 + \frac{4}{{x - 2}}$

Xét mệnh đề a)

Ta có:$f\left( x \right) - x + 1 = \left( {x - 1 + \frac{4}{{x - 2}}} \right) - x + 1 = \frac{4}{{x - 2}}$ suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{4}{{x - 2}} = 0$ nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Tiệm cận đứng: $x = 2$và tiệm cận xiên:$y = x - 1$.

Giao điểm $I$của hai tiệm cận là nghiệm của hệ: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 2 - 1 = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow I\left( {2;1} \right)$

Tâm đối xứng $I\left( {2;1} \right)$ không nằm trên trục tung nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Tính đạo hàm: $f'\left( x \right) = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.$

Bảng xét dấu

Như vậy, có tất cả 6 điểm có tọa độ nguyên nên mệnh đề d) sai (ảnh 1)

Từ bảng xét dấu ta thấy $\left( {0;2} \right)$ đạo hàm mang dấu trừ nên hàm số nghịch biến nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Để$x,y \in \mathbb{Z}$ thì $\frac{4}{{x - 2}}$ phải là số nguyên.

Điều này xảy ra khi $\left( {x - 2} \right)$ là ước của 4. Ước của 4 gồm: $ \pm 1; \pm 2; \pm 4$

Với $x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow y = 6 \Rightarrow \left( {3;6} \right)$

Với$x - 2 = - 1 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow y = - 4 \Rightarrow \left( {1; - 4} \right)$

Với$x - 2 = 2 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow y = 5 \Rightarrow \left( {4;5} \right)$

Với$x - 2 = - 2 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y = - 3 \Rightarrow \left( {0; - 3} \right)$

Với$x - 2 = 4 \Rightarrow x = 6 \Rightarrow y = 6 \Rightarrow \left( {6;6} \right)$

Với$x - 2 = - 4 \Rightarrow x = - 2 \Rightarrow y = - 4 \Rightarrow \left( { - 2; - 4} \right)$

Như vậy, có tất cả 6 điểm có tọa độ nguyên nên mệnh đề d) sai

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một hồ nước có nồng độ chất độc đo được là $1000$mg/m³. Người ta lắp hệ thống lọc tự động làm giảm $20\% $ nồng độ mỗi ngày, đồng thời do nguồn thải tự nhiên nồng độ lại tăng thêm $10$mg/m³mỗi ngày. Biết mức an toàn cho sinh vật là nồng độ phải dưới $100$mg/m³. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì hồ đạt mức an toàn?

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án:

Gọi ${u_n}$ là nồng độ chất độc trong hồ sau $n$ ngày (đơn vị: mg/m3)
Theo giả thiết, ta có nồng độ ban đầu:${u_0} = 1000$
Mỗi ngày, hệ thống lọc làm giảm $20\% $ (còn lại $80\% $hay $0,8$) và nguồn thải tự nhiên tăng thêm 10 mg/m3 nên suy ra ${u_n} = 0,8{u_{n + 1}} + 10\,\left( {\forall \,n \ge 1} \right)$
Ta biến đổi hệ thức truy hồi trên như sau: ${u_n} - 50 = 0,8.\left( {{u_{n - 1}} - 50} \right)$
Đặt${v_n} = {u_n} - 50$, ta được một cấp số nhân:${v_n} = 0,8.{v_{n - 1}}$
Với số hạng đầu${v_0} = {u_0} - 50 = 950$ nên công thức số hạng tổng quát của ${v_n}$ là${v_n} = 950.{\left( {0,8} \right)^n}$
Từ đó suy ra công thức tổng quát của nồng độ ${u_n}$ là: ${u_n} = 950.{\left( {0,8} \right)^n} + 50$
Để hồ đạt mức an toàn, nồng độ chất độc phải dưới 100 mg/m3:
${u_n} < 100 \Leftrightarrow 950.{\left( {0,8} \right)^n} + 50 < 100 \Leftrightarrow {\left( {0,8} \right)^n} < \frac{1}{{19}} \Rightarrow n > {\log _{0,8}}\left( {\frac{1}{{19}}} \right)$
Vì $n$ là số ngày (số nguyên dương), nên giá trị nhỏ nhất thỏa mãn là

n = 14

Câu 2

Trong không gian $Oxyz$ với đơn vị trên mỗi hệ trục là mét, một vườn hoa nằm trên mặt phẳng $\left( P \right):2x + 2y - z - 12 = 0$. Có 2 bóng đèn chiếu sáng cố định được đặt tại điểm $A\left( {40; - 40;12} \right)$ và $B\left( { - 40;50;38} \right)$. Để đảm bảo kĩ thuật chiếu sáng, các kỹ sư muốn thiết kế trên mặt vườn một đường ray để lắp đặt một đèn chiếu sáng $M$ di động trên đường ray ấy. Yêu cầu kĩ thuật đặt ra là góc tạo bởi $MA$ với mặt vườn và góc tạo bởi $MB$ với mặt vườn phải luôn bằng nhau

a) Hai bóng đèn $A$ và $B$ được đặt ở cùng một phía so với mặt phẳng vườn

Đúng

Sai

b) Để thỏa mãn yêu cầu kỹ thuật, tỉ số khoảng cách từ điểm $M$ đến hai điểm $A,\,B$ phải luôn không đổi

Đúng

Sai

c) Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng nối hai bóng đèn $A,\,B$ xuống mặt phẳng vườn có độ dài bằng $123$ mét (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đúng

Sai

d) Đường ray được thiết kế có dạng là một đường tròn với tổng chiều dài lớn hơn $1725$ mét

Đúng

Sai

Lời giải

Xét mệnh đề a)

Để kiểm tra vị trí tương đối, ta thay tọa độ $A$ và $B$vào vế trái phương trình mặt phẳng$\left( P \right)$:

${L_A} = 2.40 + 2.\left( { - 40} \right) - 12 - 12 = - 24$; ${L_B} = 2.\left( { - 40} \right) + 2.50 - 38 - 12 = - 30$

Vì${L_A}.{L_B} = \left( { - 24} \right).\left( { - 30} \right) > 0$, nên $A$ và $B$nằm cùng phía so với mặt phẳng $\left( P \right)$ nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Gọi $H,K$lần lượt là hình chiếu của $A,B$lên $\left( P \right)$.

Ta có: ${h_A} = AH = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 24} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 8$(m); \[{h_B} = BK = d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 30} \right|}}{3} = 10\](m).

Góc giữa đường thẳng $MA$ và $\left( P \right)$là$\widehat {AMH}$, góc giữa $MB$ và $\left( P \right)$ là $\widehat {BMK}$.

Khi đó:$\widehat {AMH} = \widehat {BMK} \Rightarrow \sin \widehat {AMH} = \sin \widehat {BMK} \Leftrightarrow \frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{BK}}{{BM}} \Leftrightarrow \frac{8}{{AM}} = \frac{{10}}{{BM}} \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{8}{{10}} = 0,8$

Vì $0,8$ là hằng số nên tỉ số khoảng cách không đổi nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Độ dài đoạn thẳng$AB$:$AB = \sqrt {{{\left( { - 40 - 40} \right)}^2} + {{\left( {50 + 40} \right)}^2} + {{\left( {38 - 12} \right)}^2}} = \sqrt {15176} $

Độ dài hình chiếu $A'B'$của $AB$ lên $\left( P \right)$được tính theo công thức (khi $A,B$cùng phía):

$A'B' = \sqrt {A{B^2} - {{\left( {{h_B} - {h_A}} \right)}^2}} = \sqrt {15176 - {{\left( {10 - 8} \right)}^2}} = \sqrt {15172} \approx 123$(m) nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Quỹ tích $M$là giao tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$có phương trình:

$\left( S \right):{\left( {x - \frac{{1640}}{9}} \right)^2} + {\left( {y + 200} \right)^2} + {\left( {z + \frac{{308}}{9}} \right)^2} = \frac{{6070400}}{{81}}$

Bán kính mặt cầu $R = \sqrt {\frac{{6070400}}{{81}}} $(m).

Khoảng cách từ tâm mặt cầu $I\left( {\frac{{1640}}{9}; - 200; - \frac{{308}}{9}} \right)$đến mặt phẳng $\left( P \right)$:

$d\left( {I,P} \right) = \frac{{\left| {2.\left( {\frac{{1640}}{9}} \right) + 2.\left( { - 200} \right) - \left( { - \frac{{308}}{9}} \right) - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{112}}{{27}}$(m)

Bán kính đường tròn quỹ tích là:

$r = \sqrt{R^{2} - d^{2} (I, ((P))} = \sqrt{{(\sqrt{\frac{6070400}{81}})}^{2} - {(\frac{112}{27})}^{2}} \approx 273,72... \overset{S T O}{\to} A$ (m).