Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị \(\left( P \right):y = 2x - {x^2}\) và trục \(Ox\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi cho \(\left( H \right)\) quay quanh trục \(Ox\).

Ta có \(AB' \cap A'B = I\) là trung điểm của mỗi đường.

Khi đó \(d\left( {B'C',\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {B',\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{B'I}}{{AI}}d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right)\).

Kẻ \(AH \bot BC\) (\(H\) là trung điểm của \(BC\)) suy ra:

\(BC \bot \left( {A'AH} \right) \Rightarrow \left( {A'BC} \right) \bot \left( {A'AH} \right),\left( {A'BC} \right) \cap \left( {A'AH} \right) = A'H\).

Kẻ \(AK \bot A'H \Rightarrow AK \bot \left( {A'AB} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {A'AB} \right)} \right) = AK = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Ta lại có \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} + \frac{1}{{A{{A'}^2}}} \Rightarrow AA' = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\).

Vậy thể tích của lăng trụ là $V=A{A}^{\text{'}}.S_{ABC}=\frac{\sqrt{15}}{5}\mathrm{.1.}\frac{\sqrt{3}}{4}{.1}^2=\frac{3\sqrt{5}}{20}\approx \boxed{\mathrm{0,34}}$.

Đoạn \(AB\) cắt và tạo với hình chiếu của nó lên \(\left( {Oxy} \right)\) góc \(60^\circ \)
Hình chiếu vuông góc của\(B\left( {{x_B};10;{z_B}} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là\(B\left( {{x_B};10;0} \right)\)
Xét tam giác vuông\(\Delta ABB'\) (vuông tại \(B'\)), góc\(\widehat {BAB'} = 60^\circ \)
Chiều sâu (trục \(z\)):\(\left| {{z_B}} \right| = AB.\sin 60^\circ = 3\sqrt 3 \) và \(AB\) hướng xuống dưới nên\({z_B} < 0 \Rightarrow {z_B} = - 3\sqrt 3 \)
Hoành độ (trục x):\(\left| {{x_B}} \right| = AB.\cos 60^\circ = 3\) tThỏa mãn \({x_B} > 0\)) suy ra \(B\left( {3;10; - 3\sqrt 3 } \right)\)
Gọi điểm \(A'\) là ảnh đối xứng của \(A\) qua mặt phẳng tường \(\left( {Oxz} \right)\) thì \(A\left( {0;10;0} \right) \Rightarrow A'\left( {0; - 10;0} \right)\)
Do \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng \(y = 0\)
Vectơ chỉ phương của \(\overrightarrow {A'B} \) là: \(\overrightarrow {A'B} = \left( {3;20; - 3\sqrt 3 } \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng \(A'B\) đi qua \(A'\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3t}\\{y = - 10 + 20t}\\{z = - 3\sqrt 3 t}\end{array}} \right.\)
Do \(M \in \left( {Oxz} \right) \Rightarrow {y_M} = 0 \Leftrightarrow - 10 + 20t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\)
Tọa độ của giao điểm \(M\) là \[M\left( {\frac{3}{2};0; - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)\]
Khoảng cách từ gốc tọa độ đến \(M\) là $OM=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+0^2+{\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\boxed{3}$  dm