a)  Có \(3\) thành phố \(A,B,C\) không cùng nằm trên một đường thẳng. Biết khoảng cách giữa hai thành phố A và thành phố \(C\) là \[30\] km, khoảng cách giữa thành phố \(A\) và thành phố \(B\) là \[90\,\,{\rm{km}}.\] Nếu đặt ở thành phố \(C\) một máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động \[60\] km thì thành phố \(B\) có nhận được tín hiệu không? Vì sao?

b)  Cho \(b > 0,d > 0\) và \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\]. Chứng minh rằng: \(\frac{a}{b} < \frac{{ab + cd}}{{{b^2} + {d^2}}} < \frac{c}{d}\).

a)  \[3\] thành phố \(A,B,C\) không cùng nằm trên một đường thẳng nên \(3\) điểm \(A,B,C\) tạo thành một tam giác \(\Delta ABC\).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: \(BC > \left| {AB - AC} \right| = \left| {90 - 30} \right| = 60.\)

Khoảng cách từ thành phố \(C\) đến thành phố \(B\) là \(BC > 60\) km nên thành phố B nằm ngoài bán kính hoạt động của máy phát sóng đặt tại thành phố \(C\).

Vậy thành phố \(B\) không nhận được tín hiệu.

b)  Ta có \(b > 0,d > 0\)và \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\]\[ \Rightarrow ad < bc \Rightarrow ad - bc < 0\].

Xét \(\frac{a}{b} - \frac{{ab + cd}}{{{b^2} + {d^2}}} = \frac{{a\left( {{b^2} + {d^2}} \right) - b\left( {ab + cd} \right)}}{{b\left( {{b^2} + {d^2}} \right)}} = \frac{{a{d^2} - bcd}}{{b\left( {{b^2} + {d^2}} \right)}} = \frac{{d\left( {ad - bc} \right)}}{{b\left( {{b^2} + {d^2}} \right)}}\)

Vì \(b,d > 0\), \(ad - bc < 0\) (cmt), \({b^2} + {d^2} > 0\) với mọi \(b,\,\,d > 0\).

Khi đó \(\frac{a}{b} - \frac{{ab + cd}}{{{b^2} + {d^2}}} = \frac{{d(ad - bc)}}{{b\left( {{b^2} + {d^2}} \right)}} < 0\) suy ra \(\frac{a}{b} < \frac{{ab + cd}}{{{b^2} + {d^2}}}\).

Xét \(\frac{{ab + cd}}{{{b^2} + {d^2}}} - \frac{c}{d} = \frac{{\left( {ab + cd} \right)d - c\left( {{b^2} + {d^2}} \right)}}{{d\left( {{b^2} + {d^2}} \right)}} = \frac{{abd - {b^2}c}}{{d\left( {{b^2} + {d^2}} \right)}} = \frac{{b\left( {ad - bc} \right)}}{{d\left( {{b^2} + {d^2}} \right)}}\)

Vì \(b,d > 0\), \(ad - bc < 0\) (cmt), \({b^2} + {d^2} > 0\) với mọi \(b,\,\,d > 0\).

Khi đó \(\frac{{ab + cd}}{{{b^2} + {d^2}}} - \frac{c}{d} = \frac{{b\left( {ad - bc} \right)}}{{d\left( {{b^2} + {d^2}} \right)}} < 0\) suy ra \(\frac{{ab + cd}}{{{b^2} + {d^2}}} < \frac{c}{d}\).

Vậy \(\frac{a}{b} < \frac{{ab + cd}}{{{b^2} + {d^2}}} < \frac{c}{d}\) khi \(b > 0,d > 0\)và \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\].