Cho \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\), tia phân giác của góc \(N\) cắt \(MP\) tại \(D\). Lấy điểm \(A\) trên cạnh \(NP\) sao cho \(NM = NA\). 

a) Chứng minh \(\Delta NMD = \Delta NAD\).                       

b) Chứng minh \(ND\) vuông góc với \(MA\).

c) Trên tia đối của tia \(MN\) lấy \(B\) sao cho \(MB = AP\). Chứng minh \(MA\parallel BP\).

d) So sánh \(MD\) và \(DP\).

a) Xét \(\Delta NMD\) và \(\Delta NAD\) có:

\(NA = NM\left( {{\rm{gt}}} \right)\,;\,\,\widehat {MND} = \widehat {AND}\,\left( {{\rm{gt}}} \right)\,;\,\,ND\,\,{\rm{chung}}\).

Suy ra \(\Delta NMD = \Delta NAD\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\).

b) Gọi giao điểm của  và \(AM\) là \(I\).

Xét \(\Delta NMI\) và \(\Delta NAI\) có:

\(NA = NM\,\left( {{\rm{gt}}} \right)\,\,;\,\,\widehat {MNI} = \widehat {ANI}\,\left( {{\rm{gt}}} \right)\,;\,\,NI\,\,{\rm{chung}}\)

Suy ra \(\Delta NMI = \Delta NAI\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\).

Suy ra \(\widehat {NIM} = \widehat {NIA}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {NIM} + \widehat {NIA} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {NIM} = \widehat {NIA} = 90^\circ \). Suy ra \(ND \bot MA\,\,\left( 1 \right)\)

c) Gọi giao điểm của \(ND\) và \(BP\) là \(\D\(\Delta NPK\) có:

\(NB = NP\left( {gt} \right);\,\,\widehat {BNK} = \widehat {BNK}\,\left( {gt} \right);\,\,NK\,\,{\rm{chung}}\)\(\Delta NBK = \Delta NPK\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\)Suy ra

Suy ra \(\widehat {NKB} = \widehat {NKP}\) (hai góc tương ứng), mà \(\widehat {NKB} + \widehat {NKP} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

nên \(\widehat {NKB} = \widehat {NKP} = 90^\circ \).

Suy ra \(ND \bot BP\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(MA\parallel BP\).

d) Ta có: \(\Delta NMD = \Delta NAD\) nên \(MD = DA\), mà \(DA < DP\) (quan hệ đường xiên – đường vuông góc) nên \(MD < DP\).